Перпендикулярность прямой и плоскости. Решение задач (математическое многоборье)

Цель урока:

1. Образовательная:

• сформировать знания учащихся по теме;
• научить их применять теоретический материал к решению задач;
• учить мыслить самостоятельно и делать выводы.

2. Развивающая:

• развивать логическое мышление, память, внимание, общеучебные умения, умение сравнивать, обобщать.

3. Воспитательная:

• воспитывать математическую культуру, трудолюбие, взаимопомощь, умение контролировать свои действия.

Задачи:

1. Отработать с учащимися умения, навыки применять определение, свойства, признак перпендикулярности прямой к решению задач.
2. Рассмотреть теорему существования и единственности прямой, перпендикулярной к плоскости.
3. Развивать потенциальные способности каждого учащегося, навыки работы с литературой.
4. Совершенствовать алгоритмическую культуру, пространственное воображение.
5. Воспитывать эстетические качества при оформлении решения заданий а также совершенствовать коммуникативные навыки, умение работать в коллективе, аргументировать и отстаивать свою точку зрения и уметь слушать другого.

Для осуществления поставленных задач выбраны следующие методы и формы обучения:

• методы – наглядный, словесный, частично-поисковый;
• формы – общеклассная, индивидуальная, групповая.

Оборудование:

• доска, интерактивный комплекс или мультимедийная установка;
• сигнальные карточки, чертежные инструменты, таблицы;
• презентация (Приложение 1).

Ход урока

I. Организационный момент (2 минуты).

Подготовка к уроку: класс разделен на три команды, каждый ряд – это одна команда.

Объявление темы урока. (Приложение 1. Слайд 3)

Учитель: Перед нами стоит задача проверить прочность наших знаний (Слайд 4). Повторим определения, свойства и признак перпендикулярности прямых к плоскости.

Сегодняшний урок пройдет в форме математического многоборья. Вы поделены на 3 команды. Каждый ряд – это команда. Побеждает та команда, которая будет активна и больше всего наберет баллов. Каждый правильный ответ – 5 баллов, вы их увидите в таблице (учитель с помощью учащихся заранее готовит на бумаге формата А1 таблицу этапов многоборья). В личном первенстве победителем становится учащийся, набравший наибольшее количество баллов (за каждое письменное правильное решение – 5 баллов). Время каждого этапа в многоборье ограничено. Наш маршрут состоит из 5 этапов.

II. Актуализация знаний.

Устная работа (5 минут). (Слайд 5)

1. Разминка «Лови ошибку!»

Учитель: Укажите верно утверждение или нет?

Все учащиеся поднимают сигнальные карточки: красная – «да», синяя – «нет». Ответы уточняются сразу после неверного ответа учащихся.

На интерактивной доске появляется слайды 5-7.

1. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. (Да, например куб.)
2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая параллельна этой прямой. (Нет, перпендикулярна.)
3. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. (Нет, т.к. по условию прямые могут лежать в этой плоскости.)
4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая параллельна плоскости. (Нет, перпендикулярна.)
5. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. (Да, по признаку.)
6. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам треугольника, лежащим в этой плоскости. (Да.)
7. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам квадрата. (Нет.)
8. Прямая, проходящая через центр круга, перпендикулярна диаметру. (Нет, нужно проводить два диаметра.)

Рисунок 1

9. В тетраэдре ABCD (рисунок 1) BCD = ACD =90°, Верно ли, что на рисунке ребра АВ, АС, ВС, перпендикулярны CD? (Да.) (Слайд 8)

2. Второй этап «Самые смелые, умелые» (6 минут).

Учитель: Переходим ко второму этапу «Самые смелые, умелые». (Слайд 9) За каждый правильный ответ – 5 баллов.

Заслушиваются ответы по домашнему заданию, которые подготовлены тремя учениками из каждой команды по готовым чертежам на доске. Два ученика готовили доказательство: теорему – признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорему о параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости, третий – решение домашней задачи №126[1] (Слайд 10):

Рисунок 2

Дано: ∆АВС, ВМ АВ, ВМ ВС, D АС (рисунок 2)
Найти: вид ∆ МВD
Решение:

1.

ВМ ВС ВМ АВ АВ ВС = В

ВМ (АВС) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

2. Проведем ВD в ∆АВС, тогда ВD ВМ, значит ∆МВD – прямоугольный.

III. Изучение нового материала (формулировка и изучение теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к плоскости).

Третий этап «Знание – сила» (6 минут).

Учитель: Начинаем 3 этап «Знание – сила». (Слайд 12 )

На интерактивной доске появляется слайд 13 по рисунку 50 учебника[1]:

Учитель: Сформулируем теорему о прямой, перпендикулярной плоскости:

• Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна (рисунок 3). [1]

Рисунок 3

На этом этапе учащиеся самостоятельно изучают по учебнику доказательство теоремы и отвечают на вопросы слайда 14.

Ответить на вопросы по тексту теоремы [1]:

1. Какая прямая перпендикулярная плоскости проходит через точку М?
2. Как называются плоскости, через которые проходят перпендикулярные прямые?
3. Какую прямую провели дополнительно в плоскости α и зачем?
4. Чтобы доказать единственность перпендикулярной прямой к плоскости выбрали..., которая оказалась бы...?
5. Где в реальной жизни Вы могли бы применить понятия перпендикулярности прямой и плоскости ?

Пока учащиеся заняты изучением теоремы, учитель проверяет запись ответов домашнего задания членов команды у тех, кто не отвечал у доски. Так же учитель выставляет баллы за ответы командам в подготовленную таблицу.

Когда время изучения теоремы истекло, изъявившие желание учащиеся, зачитывают вслух ответы на вопросы слайда 14.

Учитель (дополняет их ответ примером): В строительстве для проверки вертикальности применяют отвесы. Если взять отвес, посмотреть на его положение научным взглядом: он вертикален к поверхности земли, почему? (Под действием силы тяжести.) Чтобы установить угол наклона при возведении кирпичной стены достаточно отвеса и горизонтальной доски, положенной на кирпич? (Да достаточно, но для большей точности используют строительный уровень.)

IV. Применение полученных знаний.

Решение задач на интерактивной доске и в тетради учащихся (14 минут).

Четвертый этап «Умники и умницы».

Учитель: Переходим к следующему этапу многоборья, который называется «Умники и умницы». (Слайд 15)

С использованием слайдов проводится решение задач. Для решения задачи к доске приглашается один ученик, остальные учащиеся, не дожидаясь ответа, решают самостоятельно. Кто из учащихся решит первым правильно, заработает баллы себе и команде. Каждая правильно решенная задача – 5 баллов.

Задача №1[3] (Слайд 16)

Рисунок 4

Дано: Рисунок 4. Точка М лежит вне плоскости АВС.
АВСЕ – прямоугольник.

Доказать: АЕ АМ.

Задача №2[3] (Слайд 17)

Рисунок 5

Дано: Рисунок 5. Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС).
АС = 6 дм. ВСА = 90°, МАВ = 60°, САВ = 30°.

Найти: МВ.

Задача № 3[3] ( дополнительная). (Слайд 18)

Рисунок 6

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, (рисунок 6)
АD = 9дм, DС = 8дм, DВ₁ = 17дм

Найти: SBB₁D₁D .

V. Подведение итогов (7 минут).

Итоги многоборья. Лидирует команда ... ряда. Оценки получили следующие учащиеся...Но это еще не все.

Сейчас будет последний этап. Он называется «Эврика!». (Слайды 20-26) Это математический диктант (6 минут).

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

VI. Информация о домашнем задании (2 минуты).

(Слайд 27) Информация о домашнем задании: П.17, 18; №127,129(а).

Окончательное подведение итогов. (Слайд 28)

Источники информации:

1. Геометрия, 10-11 класс (базовый уровень), авторы Л.С. Атанасян и другие, - М.: Просвещение, 2008.
2. hhtp://uroki.net
3. hhtp:/ portfolio.1sept.ru
4. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса, А.И. Ершова, В.В. Голобородько, Москва: «Илекса», 2009.