Предлагаю вашему вниманию урок, который я провожу при изучении темы “Арифметическая и геометрическая прогрессии” в 9 классе. Материал урока позволяет показать способ решения экономических задач с использованием прогрессий, связать ранее изученный материал с практикой, научит применять математические знания в жизни.
Цели урока:
Расширить представления учащихся о числовых последовательностях, изучить свойства арифметической и геометрической прогрессии, развить умение решать задачи на проценты. Развивать умения выполнять индуктивные умозаключения, подмечать закономерности и выражать их на математическом языке. Научить переводить реальные задачи на математический язык.
Ход урока
1. Организационный момент.
Учитель организует работу учащихся.
2. Актуализация знаний:
Устная работа по вопросам:
1). Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?
2). Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
3). Какая из представленных последовательностей является арифметической, геометрической и почему?
На доске следующие записи:
1. 7,5; 9; 10,5; 12….d=1,5
2. 3, 5 9, 11 17….. не является прогрессией
3. 
, 
, 
, 
…. 
4. 
, 
, 
, 
…. 
5. 10; 10; 10; 10…. q=1, d=0
4).Назвать первые пять членов арифметической и геометрической прогрессий:
3, 6 ….
Мы повторили определения арифметической и геометрической прогрессий. Далее попробуем соотнести данные понятия с понятиями из экономики: сложные и простые проценты.
3. Изучение нового материала.
Простые проценты:
Постоянно за определенный промежуток времени начисляется одна и та же сумма, определенная количеством процентов.
an+1 = a1+n.d, d=a1.p/100
an+1 = a1(1+p.n/100), где p – проценты.
Сложные проценты
Увеличение значения в одно и тоже число раз по сравнению с предыдущим значением.
bn+1 = b1.qn
q = 1 + p/100
4. Закрепление материала.
Задачи:
1. Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?
Решение:
| a4 = 880 | a4 = a3 + 3d, d = a1.p/100 = a1.40/100 = 0,4a1 |
| p = 40% | 880 = a1 + 1,2a1 |
| n=3 | 880 = 2,2a1 |
| a1 – ? | a1 = 400 |
Ответ: первоначальный вклад 400 руб.
2. 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?
Решение:
| a1 = 750 | a5 = a4 + 4d, d = a1.p/100 = p.750/100 = 7,5p |
| a5 = 1500 | 1500 = 750 + 30p |
| n=4 | 750 = 30p |
| p – ? | p = 25% |
Ответ: 25%.
3. На сколько лет надо положить 1000 руб. по 20% (сложные), чтобы получить 1440 руб.?
Решение:
| b1 = 1000 | bn+1 = b1.qn, q = 1 + p/100 = (1 + 0,2) = 1,2 |
| p = 20 | 1440 = 1000.1,2n |
| bn+1 = 1440 | 1,44 = 1,2n |
| n = 2 |
Ответ: на 2 года.
Задачу 1 учитель решает на доске, задачу 2 учащиеся самостоятельно, а задачу 3 – самостоятельно, но с комментариями учителя.
Таким образом, мы решили задачи на простые проценты, которые являются прообразом арифметической прогрессии, и на сложные проценты, которые являются прообразом геометрической прогрессии.
4. Предположим следующую ситуацию.
Мы заработали определенную сумму денег и перед нами стоит задача в какой банк выгоднее вложить деньги.
Найдем в исследуемых банках рекламные проспекты с информацией о процентных ставках, которые предлагает банк населению.
Предположим, что мы рассматриваем следующие банки:
Банк 1 – простые из расчета 3% в месяц.
Банк 2 – простые из расчета 40% в год.
Банк 3 –сложные из расчета 30% в год.
В какой из этих банков выгоднее вложить 500 рублей на 3 года?
Решение:
Банк 1.
| a1 = 500 | a37 = a1 + 36d, d = a1.30/100 = 15 |
| p = 3 | a37 = 500 + 36.15 = 1040 руб. |
| n=36 | |
| a37 – ? |
Банк 2.
| a1 = 500 | a4 = a1 + 3d, d = a1.30/100 = 15 |
| p = 40 | a4 = 500 + 3.40.500/100 = 1100 руб. |
| n=3 | |
| a4 – ? |
Банк 3.
b1 =500
| n = 3 | b4 = b1.qn, q = 1 + p/100 = (1 + 0,3) = 1,3 |
| p = 30 | b4 = b1.qn = 500 . 1,33 = 1098,5 руб. |
Ответ: выгоднее вложить в 2 банк.
5. Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый месяц увеличивается:
1). в 1,1 раза
2). 1,05 раза,
3). в 1,5 раза
4). в 1,15 раза?
В каждом случае определить сумму на счете через 4 месяц, считая, что начальный вклад составляет 100000 руб.
Решение:
q1 = 1,1
q2 = 1,05
q3 = 1,5
q4 = 1,15
q = 1 + p/100
p1 = 10%
p2 = 5%
p3 = 50%
p4 = 15%
b1 = 100000 b5=b1.q4
n = 4,
1). b5 = 100000.1,14 = 146410 (руб.)
2). b5 = 100000.1,054 = 121550146410 (руб.)
3). b5 = 100000.1,54 = 506250146410 (руб.)
4). b5 = 100000.1,154 = 174900146410 (руб.)
Вывод: чем больше ставка, тем больше доход.
Дополнительная задача:
На первый счет положили 100000 руб. под 30% в год (простые), на второй счет – 300000 руб. под 10% в год (простые). На каком из счетов через 50 лет будет сумма больше?
Решение:
Первый счет:
| a1 = 100000 | a51 = a1 + 50d, d = a1.p/100 = 100000.30/100= 30000 |
| p = 30% | a51 = 100000 + 50.30000 = 1600000 |
| n=50 | |
| a51 – ? |
Второй счет:
| a1 = 300000 | a51 = a1 + 50d, d = a1.p/100 = 300000.10/100= 30000 |
| p = 10% | a51 = 300000 + 50.30000 = 1800000 |
| n=50 | |
| a51 – ? |
Ответ: на втором счету больше.
5. Итог урока:
Сегодня на уроке мы научились решать экономические задачи с помощью арифметической и геометрической прогрессий, а так же переводить экономические задачи на математический язык.
В конце урока учитель выставляет оценки учащимся, наиболее активно работавшим на уроке.
Литература:
- Г.В. Дорофеев, Е. А. Седова. Процентные вычисления. – СПб: “Специальная литература”, 1997.
- Л.П. Евстафьева. Математика: дидактические материалы для 9-го класса общеобразовательных учреждений. – М.6 Просвещение, 2006.