Логарифмические уравнения

Цели урока:

• cистематизировать виды логарифмических уравнений;
• познакомить с приемами решений логарифмических уравнений;
• совершенствовать умение преобразовывать выражения, содержащие логарифм.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка знаний учащихся.

1. Дайте определение логарифма числа а по основанию в.
2. Назовите основное логарифмическое тождество.
3. Назовите основные свойства логарифма.
4. Какие уравнения называются логарифмические?

• Log ₁₅15;
• Log ₂16;
• Log ₅10+ Log ₅2- Log ₅4;
• Log ₈16- 3Log ₈1;
• Log ₁₂₃ 1+2;
• Log ₂ Log ₃ 81;
• Lg 8+Lg 125;
• Log ₂7- Log ₂7/16;
• 5\4 Log √₅ 25;
• Log √₇ 49;
• Log _01√100;
• 6^{(3 Log} ₆²⁾ ;
• 7^{(2+2 Log} ₇⁸⁾;
• Log ₁₃ ⁵√169.

Тест

1. Найдите область определения функции у= Log ₃ (1-4х)/(х+2).

А) х<-2, х>0,4; В) х>2, х<0,4; С) -2<х<0,4; Д) х>0,4.

2. Найдите наименьшее значение функции у= Log ₃ (х²-6х+11)

А) х=1; В) х=-2; С) х= Log ₄ 11; Д) х=0,5.

3. Реши уравнение Log ₃ (х²-6х+11)=1

А) 5 и 1; В) 5; С) 1; Д) -5 и 1.

3. Изучение нового материала.

Логарифмическое уравнение, содержащее неизвестное только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Так как логарифмическая функция монотонна и ее область значений множество R, то простейшее логарифмическое уравнение Log _а х=в имеет единственный корень

(а>0, а≠1, х>о).

Например, Log ₃ (х²-6х+11)=1, Log ₄ (х²-6х+11)= Log ₄ (х-4).

Уравнение вида Log ₃ (х²-6х+11)=х Log ₄ х не является логарифмическим.

Простейшими логарифмическими уравнениями являются

Log _а х =в, Log _х m= n.

Простейшие уравнения, решаемые с помощью определения логарифма

Log ₂ (х²-3х+10)=3; х²-3х+10=3² ; х²-3х+1=0; х₁=2 и х₂=1.

Задания

Решите уравнения:

1. Log ₃ (х²-3х)=3;
2. Х Log ₂ (х²-3х+10)=0;
3. Log ₇ Log ₃ Log ₂ Log ₂ х=0;
4. 2 Log _{Log 2х} 2=1;
5. 3^{Log 4 (5х)=} Log ₅ 125.

 Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием.

Переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их, называется потенцированием. Из теоремы следует, что если логарифмы равны, то при равных основаниях в области действительных чисел равны и логарифмируемые числа.

Log _а х= Log _а в+ Log _а р= Log _а вр; х=вр.

Однако, особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Связано это с расширением ОДЗ в ходе его преобразования. Поэтому необходимо проверять полученные корни подстановкой или следить за изменением ОДЗ.

Log ₄ (х²-6х)= Log ₄ (-х +6) .

х²-6х=-х +6; х²-6х+х -6-0; х² -5х-6=0; х₁=6, х₂=-1. Корень квадратного уравнения не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. В ОДЗ исходного уравнения попадает число х₂=-1, которое и является его решением.

Решите уравнения:

1. Lg х- Lg 11=Lg19- Lg(30-х);
2. Lg (х- 5)-Lg 2= 0,5Lg (3х-20);
3. Lg (х+1)+ Lg х=Lg(5-6х)- Lg2;
4. Lg (х-1)-0,5 Lg (х+7)² =Lg1;
5. Lg √1-х+3 Lg √1+х=Lg√(1-х)²+2.

Уравнения второй и выше степени относительно логарифма.

При решении уравнений этого типа следует обратить внимание на следующее: Lg³х⁴=64 Lg³х, где х›0 и : Lgⁿх^k=kⁿ Lgⁿх.

Log _х5√5-1,25 =Lоg_х²√5; х>0, х≠1; 1,5 Log _х5-1,25=0,25 Lоg_х²5;

Lоg_х²5-6 Log _х5+5=0; Log _х5=1 и Log _х5=5.

Х₁=5 и х₂= ⁵√ 5.

 Решите уравнения:

1. Lg²х - Lgх⁴ =Lg²5-4;
2. Lg²х +Lgх⁴ =Lg²5-4;
3. Lg²х³ –10 Lgх =-1;
4. Lg²х² – Lgх⁵ =Lg²5-4;
5. Lоg²₃6 - Lоg²₃2 =(Lg²х-3) Lоg₃ 12.

Уравнение, содержащее неизвестное и в основании и в показателе степени.

Уравнения такого типа, как правило, решаются логарифмированием обеих частей. Если в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения логарифмируют по тому основанию, которое содержится в основании логарифма, находящегося в показателе степени.

Х^√х=(√х)^х; х›0; √х Lgх=0,5х Lgх; 0,5 √х(2-√х) Lgх =о;

1. Lgх =о; х=1;
2. (2-√х)=0; х=4;
3. √х=04х=0.

Значение х=0 не удовлетворяет области определения. Значения 1 и 4 входят в область определения. Проверка подтверждает, что 1 и 4 корни исходного уравнения.

Решите уравнения:

1. х ^Lgх=10000;
2. х ^Lgх+2= 8;
3. х ^{1+ Lgх}=100;
4. х ^{Lg3х +5Lgх}=10 ^{12 Lg2х};
5. (х+7) ^Lg(х+7)=10.

Логарифмические уравнения, требующие дополнительные сведения из теории логарифмов.

Lоg_а2х +Lоg_х2а=1; Области допустимых значений неизвестного х и основания а определяются неравенствами: {х>0, х≠0 а>0, а≠1}.

Считая, что х и а принадлежат рассматриваемым областям, выполним следующие преобразования:

Lоg_а √х +Lоg_х √а=1 ;0,5 Lоg_ах +0,5Lоg_х а=1;

Lоg_ах +1/Lоg_а х=2; Lоg²_ах -2Lоg_а х+1=0;

(Lоg_а х-1)²=0; Lоg_а х=1; х=а.

Проверка подтверждает, что х=а удовлетворяет области определения уравнения и является корнем исходного уравнения.

Решите уравнения:

1. 6 ^Lоg2₆х+х ^Lоg₆^х=12 (ответ: 1/6 и 6);
2. 3 ^Lоg2₃х+х ^Lоg₃^х=6;
3. 7 ^Lоg2₇х+х ^Lоg₇^х=14.

Графический способ решения уравнений.

Уравнение вида Lоg_а F( х)=g(х), где F( х) и g(х)= алгебраические или трансцендентные функции, не могут решены быть вышеназванными приемами. Однако графическим способом найти приближенные решения уравнения этого типа.

Решить уравнение Lоg₂х=х-1.

Построим графики функций у= Lоg₂х и у=х-1.

1) у= Lоg₂х

2) у=х-1

Построим графики этих функций. По графику читаем абсциссы двух точек пересечения графиков, именно: х=1 и х=2. При найденных значениях абсцисс соответствующие им значения у должны быть равны между собой. Для прямой у= 2-1=1 и для кривой у= Lоg₂2=1.

Решите уравнения:

1. Lg (х+1)=х-1;
2. Lgх=х²-1;
3. Lоg₂х=х+1;
4. Lgх=√х-1;
5. Lоg₃х=3\х.

3) Домашнее задание.

Творческие задания.

Lоg₃х Lоg₉х Lоg₂₇х Lоg₈₁х=2/3;

Lоg_х3+ Lоg₃х =Lоg√_х3 Lоg₃√х+0,5;

х ^{Lg2х-5 Lgх}=0,0001;

Lоg₅ (cosx-sinx)= Lоg₅0.5- Lоg₅ (cosx+sinx)$

Lоg₂ (15 sin2x +7sinx)=1+ Lоg₂ (3sinx+1).