Цели:
- изучение закономерностей вращательного движения на модели кругового маятника;
- применение найденных закономерностей к исследованию вытекания жидкости из пен.
Задачи исследования:
- Образовательные:
- изучить вращение маятника и описать его математически;
- получить на основе этого закономерности истечения жидкости из пен.
- Воспитательные:
- подчеркнуть взаимосвязь физической модели и ее математическим описанием как проявления одного из признаков метода познания явлений;
- продолжить работу по развитию самостоятельности, аккуратности и внимания учащихся.
- Развивающие:
- продолжить работу по развитию внимания и умения творчески мыслить;
- развивать умение находить общую природу между различными явлениями;
- разработать физические модели для описания реальных явлений;
- развивать умение работать в творческом коллективе;
- применять возможности ИКТ для модельного изучения явлений в физике;
- прививать навыки решения задач.
В настоящее время ИКТ в преподавании физики в школе занимают все более и более значимое место. Это лаборатория L-микро, виртуальные лабораторные работы, которые с интересом выполняют учащиеся, демонстрационные эксперименты, физические модели (Физикон). Так, компьютерное моделирование может стать инструментом при изучении школьной физики. Современные физические модели создаются большой группой профессионалов. Это программисты и специалисты, которые пишут сценарии. Но и учителя физики тоже не должны оставаться в стороны, им также необходимо (совместно со своими учениками) разрабатывать физические модели. Конечно, трудно конкурировать с профессионалами, но это очень интересное дело, тем более, что результаты можно использовать на уроках. Физические модели, прежде всего наглядные, позволяют давать графическую информацию, носят интерактивный характер (здесь сразу же просматривается межпредметная связь с информатикой и ИКТ). Ученики, изучая программирование на языках Visual basic или Delphi, могут активно принимать участие в разработке моделей. Интерактивная программа компьютерной физической модели позволяет учащемуся исследовать явление, представленному в той или иной физической модели. В качестве примера рассмотрим физическую модель вращения кругового маятника. Рассмотрим математический маятник в виде материальной точки, закрепленной на конце жесткого невесомого стержня, способного вращаться вокруг другого конца без трения. Эта модель рассматривается в работе [1]. Такой маятник имеет два положения равновесия: устойчивое в нижнем положении и неустойчивое в верхнем. Сила тяжести при малейшем отклонении маятника от верхнего положения, смещает его все далее и далее из вертикального положения (рис.1).
Рис. 1
Как следует из работы [1], в отсутствии трения
полная энергия маятника равна 
(1)
Уравнение (1) связывает угол отклонения 
и угловую скорость 
. Величина 
называется моментом
инерции материальной точки относительно точки 0,
где a – радиус вращения. За
нулевой уровень потенциальной энергии принято
нижнее устойчивое положение маятника. Выражение 
– кинетическая
энергия вращательного движения. Известно, что
для маятника, совершающего колебания около
нижнего положения равновесия, квадрат
собственной частоты равен 
.
(2)
Введем величину кинетической энергии 
, которой обладает
вращающееся тело с частотой 
определяемой выражением (2).
Введение Eo позволит
записать уравнение (1) в безразмерном виде 
.
(3)
Если E > 2mga ( E/Eo > 4), то маятник совершает полные обороты, вращаясь в определенном направлении. При прохождении нижнего устойчивого равновесия скорость маятника максимальная, а при прохождении через верхнюю точку неустойчивого равновесия скорость минимальна. В случае E/Eo < 4 имеем нелинейное колебательное движение (углы отклонения от положения равновесия велики). Особый интерес представляет движение маятника при E = 4Eo
При этом полная энергия маятника равна потенциальной энергии в верхнем положении E > 2mgal Этот вид движения автор работы [1] назвал лимитационным, так как он разделяет два типа движений маятника: колебательное и вращательное. Уравнение кривой (ее называют сепаратрисой), разделяющей эти два вида движения имеет вид [1]
. (4)
Решение этого дифференциального уравнения выходит за рамки школьной программы, поэтому просто приведем его (ученики 11 класса уже знают производные):
(5)
Это решение описывает движение кругового
маятника против часовой стрелки из положения 
при 
. При t = 0 грузик
маятника проходит нижнее положение равновесия,
асимптотически приближаясь с бесконечно малой
скоростью к неустойчивому положению 
. На рис. 2 показан график
этого движения. Зависимость угловой скорости от
времени 
имеет
вид:
.
(6)
Рис. 2
Следуя работе [1], при 
угловая скорость (6) спадает
экспоненциально, так как 
, что дает
(6a)
График зависимости угловой скорости показан на рис.3.
Рис. 3
С другой стороны в работе [2] такой вид движения маятника назван «солитонным». Почему получились эти различия в названиях и как правильно назвать этот интересный вид движения? В математической физике теории солитонов уделено много внимания, хотя бы потому, что они (солитоны) описывают много физических явлений в различных разделах физики. В то же время в школьной физике о них ничего неизвестно, разве что читателям книги [2]. В работе [3] обосновано, что движение вдоль сепаратрис соответствуют солитонам. Поэтому решения (5) график рис. 3 соответствуют солитонному решению уравнения под названием Sin-Гордона и получили название кинков (kink – перегиб). Солитоны ведут себя подобно частицам (окончание « -он» подчеркивает принадлежность к частице).
Рис. 4
На рис. 4 в качестве примера приведено столкновение двух кинков. Приведем некоторые физические примеры. Это, например, динамика дислокаций в кристаллах. Дислокация получается так: если удалить половину кристаллографической плоскости, то возникнет дефект под названием дислокация. При пластической деформации (удлинение тела растет, а внешняя нагрузка не изменяется) происходит перемещение дислокации. Простейшую модель дислокации предложили в 1930 году Я.И.Френкель и Т.А.Конторова и форма этой дислокации описывалась уравнением (5). Динамика границ доменов в ферромагнетиках также описывается уравнением Sin-Гордоном, т.е. солитонами. Много можно привести примеров на эту тему. И автор данной работы вместе с учениками на кружке по физике тоже нашли интересное применение солитонов при описании явления вытекания жидкости из пенного столба. Нами использовалась методика «подвешенного столба»: наполненный пеной цилиндр переворачивался вверх дном, устанавливаясь вертикально, и объем вытекающей жидкости с нижней свободной поверхности, регистрировали по времени [4].
Рис. 5
На рис. 5 показана схема устройства для
исследования вытекания жидкости из
«подвешенного пенного столба». Следуя работе
[4], рассмотрим единичный объем пены с
плотностью 
, где К
– структурный параметр пены, кратность (равна
отношению объема пены к объему жидкости, из
которой она получена)). Эта плотность со временем
меняется по закону
,
(7)
где Vo – плотность пены в момент времени t = 0.
В формуле (7) 
–
постоянная разрушения пены, R – средний
размер пенной ячейки в момент t, Ro –
начальный размер ячейки. При разрушении пены вся
освобождающаяся жидкость вытекает.
Продифференцируем (7)
(8)
Заметим, что (8) и есть та самая экспоненциальная зависимость (6а), о которой говорилось выше, а это значит, что вытекание жидкости можно описать зависимостью (5) и (6). Действительно, продифференцируем (8) еще раз:
(9)
Введем новую функцию 
, тогда (9) примет вид 
(10)
Для пен кратностью К >>100 
, тогда 
и уравнение (10) перепишется в виде:
(11)
Интегрируя (11), получим 
при t = 0 V = 1 (вся
жидкость в пене), получим С = 0.
Окончательно выражение для количества
вытекающей жидкости в относительных величинах
примет вид:
.
(11)
В эксперименте высота столба примерно составляла 20-30 см.
На рис. 6 приведены теоретическая зависимость (сплошная линия) и экспериментальные точки. Видим, что экспериментальные точки хорошо совпадают с теоретическим графиком (в соответствии с формулой (11)).
Рис. 6
Ввиду того, что солитоны очень интересные объекты, нами была создана программа солитонного движения кругового маятника на интерактивном языке программирования Visual Basic, который изучается в школе на уроках информатики *). На рис. 7 приведен интерфейс этой физической модели.
Рис. 7
В этой модели, вводя радиус окружности и частоту вращения, можно наблюдать, как происходит движение маятников (их в модели три), а также их траектории по сепаратрисе и собственно сами солитоны. Эта физическая модель позволит учащимся наглядно представить движение кругового маятника в предельном случае – движение по сепаратрисе.
*) В данной работе принимали участие ученики 11 класса Волков А., Василенко Р., Котов Д.
Выводы:
- Создана интерактивная модель солитонного движения маятника.
- С помощью этой модели получены оригинальные данные вытекания жидкости из пен.
Литература:
- Бутиков Е.И. Роль моделирования в обучении физике. Компьютерные инструменты в образовании. №5, 2002. С. 1 – 20.
- Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: «Наука», 1990. С. 286.
- Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Физматлит, 2001.
- Канн К.Б. Капиллярная гидродинамика пен. Новосибирск. «Наука». Сибирское отделение. 1989.