Логарифмическая функция и ее свойства

Урок № 1. Логарифмическая функция, её свойства

Цели:

• ввести понятие логарифмической функции; сформулировать основные свойства логарифмической функции;
• способствовать формированию умений применять свойства функции при решении логарифмических уравнений и неравенств, преобразовании логарифмических выражений;
• развитие познавательной активности и формирование положительной мотивации к изучению темы, развитие коммутативных способностей учащихся.

Оборудование:

1. Таблицы:

а) схема исследования функций;

б) свойства логарифмов;

2. Рисунки учащихся;

3. Сообщения учащихся из истории возникновения логарифмов и логарифмической функции.

4. Мультимедийный проектор.

Форма проведения урока: работа в группах; обсуждение решений задач и способов решения происходит в группах: каждый должен попробовать себя в роли организатора работы, критика выдвинутых идей, помощника и принимающего помощь; каждый из членов группы работает в меру своих возможностей, чётко и быстро.

Ход урока

Вначале урока объявляется тема и форма проведения урока. Класс делится на группы.

1. Актуализация опорных знаний.

А. Блицопрос

1. Дайте определение логарифма.

2. Каковы основные свойства логарифмов?

3. Как выражается основное логарифмическое тождество?

4. Какова формула, выражающая связь логарифмов с разными основаниями?

5. Кто и когда создал таблицы логарифмов?

Б. Математический диктант (с последующей проверкой)

Таблица для самопроверки

2. Изучение темы.

Потому что,словно пена,
опадают наши рифмы.
И величие степенно отступает в логарифмы.
Б.Слуцкий

Безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых разных областях науки и техники; придумали логарифмы для облегчения вычислений.

Почти 4000 лет назад в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Эти таблицы помогали астрономам, инженерам, сокращая время на вычисления и, как сказал Лаплас, “удлиняя жизнь вычислителям”.

Самая интересная, полезная и лирическая функция – это функция логарифмическая. Чем же она интересна?

А. Сообщения учащихся

1. Звёзды, шум и логарифмы.

Шум и звёзды объединяют потому, что громкость шума и яркость звёзд определяются одинаково: по логарифмической шкале.

Астрономы делят звёзды по степени яркости на видимые и абсолютные звёздные величины – звёзды первой, второй, третьей (и т.д.) величины. Последовательность видимых звёздных величин, воспринимаемых глазом, представляют собой арифметическую прогрессию. Но их физическая яркость изменяется по иному закону: яркость звёзд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. “Величина” звезды – логарифм физической яркости. То есть, астроном, оценивая яркость звёзд, оперирует таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5.

Почти так же оценивается громкость шума. Единицей громкости служит “бел”, но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые “децибелы”. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бел, и т. д. составляют арифметическую прогрессию. Физические же величины, характеризующие шумы, составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей логарифмической величины.

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о стальную плиту во много раз громче, чем шелест листвы, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь едва видимой на ночном небе звезды. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты доказывают, что организм как бы “логарифмирует” полученные раздражения, т.е. величина ощущения пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.

2. Логарифмическачя спираль.

Самолёт, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернётся в тот же пункт, из которого он вылетел. Предположим теперь, что самолёт будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т.е. держась всё время одно и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадёт в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облёта он окажется ещё ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали .В этой формуле r - расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, - угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, а и к – постоянные. Это уравнение связано с логарифмической функцией, поэтому вычисленную спираль называют логарифмической.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом растут чаще всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша.

Но раковины морских животных могут расти только в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться только по логарифмической спирали (или её аналогу). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога млекопитающих – архары – закручены по логарифмической спирали.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины: в подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т.д.

Паук эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

3. О пользе функции.

Музыканты редко увлекаются математикой: большинство из них не “питают к науке этой уваженье”. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами это подозревают. Известный физик Эйхенвальд вспоминал: “Товарищ мой … любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил что у математики и физики ничего общего. Правда Пифагор нашёл какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но как раз пифагорова гамма оказалась непригодной для музыки. Как же был поражён мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам рояля, он играет, по логарифмам” (демонстрация видеоклипа о логарифмической функции).

Теперь полезность мы вам чётко обоснуем,
И яркую картину нарисуем.
Вот вы когда-нибудь слыхали
О логарифмической спирали?
Моллюсков многих и улиток
Ракушки тоже все завиты.
И как сказал великий Гёте:
“Вы совершеннее строенья не найдёте!”
И эту спираль мы повсюду встречаем:
К примеру – ножи в механизме вращая,
В изгибе трубы мы её обнаружим –
Турбины тогда максимально послужат.
В подсолнухе семечки тоже закручены,
И паука все плетенья заучены
Наверняка и о том вы не знали, -
Галактики тоже кружат по спирали.

Б. Работа в группах

Дать определение логарифмической функции.

Пусть а – положительное число, не равное 1.
Функцию, заданную формулой у = log_ах, называют логарифмической с основанием а
(при а=10, y = lg x; a = e, y = ln x).

Задания для групп учащихся:

1) Используя общую схему для исследования функций опишите свойства логарифмической функции (Схема прилагается).

1 группа у = logx, если а > 1;

2 группа у = logx, если а < 1.

Вопросы для групп:

1. Сформулируйте свойства предложенных вам для исследования функции.

2. Верно ли, что логарифмическая функция

а) имеет экстремумы?

б) является чётной?

в) является нечётной?

г) является периодической?

Систематизация знаний

А. Задания группам

Б. Решить №506

Проверка:

1. log2sin + logcos= log2sin cos= logsin (2) = log=-1

2. log + log = log =

log = log = log = 1;

3. lg tg 4 + lg ctg 4 = lg tg 4 ctg 4 = lg 1 = 0;

4. log( 5 + 2) + log( 5 - 2) = log( 5 + 2)( 5 - 2) =

log( 5² – (2)²) = log1 = 0.

В. Самостоятельная работа

Выполните задания.

Подведение итогов урока.

Правильно выполненное задание – 1 балл, 0,5 балла за краткое обоснование решения, 1 балл за решение несколькими способами.

Количество баллов, набранное каждым участником группы суммируется и присуждается группе.

Домашнее задание. П.39 № 511 а); б).

№ 502; №

Литература

1. С.В. Белобородова. Зачем в школе изучают логарифмы. Журнал “Математика в школе”. № 4-2008 г.

2. В.Кочагин, М.Кочагина. Математика. Тематические тренировочные задания.

3. Е.Санина. Урок по теме “Логарифмическая функция”. МВШ № 5-99.

4. Я. Перельман. Занимательная математика.

5. “Алгебра и начала математического анализа” 10-11 кл. (базовый уровень) под ред. А.Н.Колмогорова.

Презентация

Приложение