Рекомендации учащимся 8-го класса по изучению темы "Решение квадратных уравнений"

Разделы: Математика


Что нужно знать и уметь, чтобы решать квадратные уравнения.

  • Определение квадратного уравнения;
  • Формула дискриминанта квадратного уравнения;
  • Формула корней квадратного уравнения;
  • Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, если второй коэффициент четное число;
  • Теорема Виета.

Выучи и запомни!

Квадратным уравнением называется уравнение вида abx + c = 0, где x – переменная, a 0, b,c -некоторые числа.

Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и c – свободным членом.

Дискриминантом квадратного уравнения abx + c = 0 (“дискриминант” по-латыни – различитель) называют выражение вида D = b - 4 ac.

  1. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня;
  2. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один действительный корень;
  3. Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

При решении квадратного уравнения по формуле целесообразно поступать следующим образом:

  1. Вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
  2. Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что действительных корней нет.

Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записывать в другом виде:

, где k = .

Полезно запомнить, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из корней равен единице.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х + px + q =0.

Теперь попробуй выполнить следующие задания.

1. Для каждого уравнения вида abx + c = 0 укажи значения

a, b, c.

а) + 6x -9 = 0;
б) х - 4x +4 = 0;
в) х - 2x -15 = 0;
г) -3х + 8x -18 = 0
;

2. Продолжи вычисление дискриминанта D квадратного уравнения по формуле D = b - 4 ac.

а) 5х - 7х + 2 = 0, D = (-7)? - 4*5*2 = 49 – 40 = …;
б) х - х – 2 = 0, D = (-1)? - 4*1*(-2) = …;
в) х - 2x -15 = 0, D = (-2) - 4 …;
г) -3х + 8x -18 = 0, D = …;

3. Внимательно рассмотри решение квадратных уравнений. 3х - 5х – 2 = 0:

Вычислим дискриминант по формуле D = b - 4 ac. D =(-5) - 4*3*(-2) = 25 + 24 =49, D>0, значит уравнение имеет два действительных корня. Найдем их значения по формуле . = = 2, = = - =- . Ответ: 2; ;

- 6х + 1 = 0: D=0, значит, уравнение имеет один действительный корень=; 9х - 6х + 10 = 0: D= 36 – 360 = - 324, D< 0, значит, уравнение действительных корней не имеет.

4. Реши уравнение:

а) 3х - 13х + 4 = 0;
б) 2х - 9х -5 = 0;
в) 5х - 13х + 6 = 0;
г) 9х - 12х + 4 = 0;
д) 4х - х + 1 = 0;
е) 49х - 28х + 3 = 0.

Проверь себя!

Дискриминант равен а) 121; б) 121; в) 49; г) 0; д) -15; е) 196.

Ответ: а); 4; б) ; 5; в) ; 2; г) ; д) корней нет; е) и .

Оцени себя!

  • Если все уравнения решены правильно, то молодец! Работа выполнена на 5 баллов.
  • Если допустил одну ошибку, то ничего страшного. Будь внимательней! Работа выполнена на 4 балла.
  • Если ошибок намного больше, не огорчайся. Помни! Не ошибается тот, кто ничего не делает. Попробуй еще раз.

Советую изучить следующую литературу:

  1. Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин-М:Педагогика,1985-352с.
  2. Математика. Школьная энциклопедия. С.М.Никольский -М: Большая Российская энциклопедия. Дрофа 1997-527с.
  3. За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин. Москва, Просвещение, 2008г.
  4. Алгебра, учебник для 8 класса. В.Г. Дорофеев. Москва, Просвещение, 2010г.
  5. Алгебра, учебник для 8 класса. А.Г.Мордкович. Москва, Просвещение, 2008г.
  6. Алгебра, учебник для 8 класса Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И.Нешков, С. Б. Суворова. Москва, Просвещение, 2010г.