Задачи на нахождение элементов многогранников относятся к стандартным задачам по стереометрии, входящим в стандарт общего образования. В ЕГЭ по математике это задача С2. Уровень этой задачи невысокий, однако, по статистике с ней справляются полностью лишь 8,8% учащихся, положительный результат (не менее одного балла за решение) имеют 13,9% (по результатам 2011 года). Решение этих задач сводится к нахождению одной из величин: угла между прямыми; угла между прямой и плоскостью; угла между двумя плоскостями; расстояния от точки до прямой; расстояния от точки до плоскости; расстояния между двумя прямыми. Все эти задачи эффективно решаются методами векторной алгебры и аналитической геометрии. Причем для учащихся со слабыми пространственными представлениями эти методы могут стать существенным подспорьем.
К преимуществам методов векторной алгебры и аналитической геометрии стоит также отнести простоту пояснений при оформлении решения задачи. Это немаловажный факт, ведь известно, что многие учащиеся испытывают трудности не только в поиске отрезка, длина которого будет искомым расстоянием, или искомого угла, но и в доказательстве этого факта. А по критериям оценивания задачи С2 ЕГЭ по математике доказательная часть оценивается в один из двух баллов.
Практика показывает, что для учащихся, хорошо владеющих методами векторной алгебры и аналитической геометрии, затруднений при решении задач на нахождение углов и расстояний в многогранниках нет; необходимы только аккуратность и внимательность в арифметических действиях.
Учитывая это, считаем, что методам векторной алгебры и аналитической геометрии незаслуженно отводится незначительное место в изучении курса стереометрии в старших классах. Многолетний опыт преподавания в 10-11-х классах физико-математического профиля свидетельствует о целесообразности уделения этим темам большего внимания. Предложенные планы лекций по темам “Векторы в пространстве” и “Аналитическая геометрия в пространстве” (см. в приложении), думаем, будут полезны учителям математики, работающим в старших классах и планирующим достаточно полно осветить эти темы в курсе стереометрии. Публикуя планы лекций, нам хотелось, в первую очередь, помочь преподавателям профильных классов с отбором учебного материала, и меньше всего мы хотели бы ограничить учителя в творчестве. Поэтому предполагаем, что степень полноты изложения векторных и аналитических методов будет выбрана учителем в зависимости от уровня класса и личных предпочтений. Форма проведения лекции в планах также не регламентируется, это позволит учителю реализовать урок в привычной для него манере. При изложении лекционного материала по векторным методам в классах физико-математического профиля стоит обязательно сделать акцент на прикладных аспектах изучаемого материала, использовании изучаемых методов в физике.
Также в приложении предложено решение векторными и аналитическими методами восьми стандартных задач по стереометрии: на нахождение угла и расстояния между скрещивающимися прямыми, расстояния от точки до плоскости, угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью, на деление отрезка плоскостью, задач на плоские углы трехгранного угла.