Семинар по теме "Пифагориана"

Цели и задачи урока:

• изучить новый материал по теме;
• формировать у школьников умения и навыки самостоятельной работы;
• развивать их мышление;
• вырабатывать личностную позицию;
• готовить к самообразованию и успешному усвоению учебного материала.

Оборудование и наглядные пособия:

• Интерактивная доска;
• Мультимедиа проектор;
• Раздаточный материал.

Формы работы: индивидуальная, групповая.

1. Организационный момент

Класс разбит на 7 групп.

Сообщение учителя. (Слайды 2, 3)

Сегодня мы проводим с вами семинар по геометрии с необычным названием “Пифагориана”. Хочется верить, что некоторые факты из биографии Пифагора будут для многих из вас настоящим открытием. Познакомимся с великой теоремой Пифагора, которая не утратила своего значения и сейчас. Попытаемся применить ее для решения задач.

Выступление группы 1. (Слайд 4)

Одним из величайших математиков древности был Пифагор, который родился на острове Самос приблизительно в 580 г. до нашей эры. С именем Пифагора связано много различных рассказов, легенд. В некоторых из них ему приписываются заслуги, которые ему не принадлежат.

В молодости Пифагор много путешествовал, побывал в Египте, проник через Малую Азию караванным путем в Вавилон. Всюду он по крупицам собирал древнейшие знания народов по математике, астрономии, технике. Вернувшись на свою родину, он так поразил приобретенными знаниями соотечественников, что его стали считать полубогом.

После возвращения, он собирает вокруг себя юношей из благородных семей и ведет с ними тайные беседы. Никто не знает, чему он их учит. Поликрат, правитель острова, боясь, что под прикрытием этих тайных бесед зреет заговор против него, приказывает своим людям следить за ними. Пифагор, возмущенный этим, навсегда покидает родной остров и поселяется в одном из греческих городов Южной Италии – Кротоне. Здесь происходит борьба между знатью и народом за власть.

У знати есть вождь – атлет Милон, но нет человека, который мог бы философски обосновать необходимость передачи власти над городом в руки богатых. И вот появился Пифагор. Слава о нем достигла и этого города. Пифагор учит:

"Посмотрите вокруг себя. Везде в мире порядок, все подчинено гармонии, мере. Даже звуки, и те подчинены числам. Везде в природе господствует порядок, установленный богами. Даже небесные светила и звезды подчиняются им. Как же может не подчиниться им человек? Горе тому городу, где царствует хаос, где все решает толпа, где нет почтения древнему строю".

Знать Кротона чувствует, что учение Пифагора может объединить вокруг себя тех, кто за старые порядки в городе, кто не хочет, чтобы власть была в руках народа. Все больше и больше учеников у Пифагора. Они объединились в союз посвященных, куда не могут проникнуть простые люди (Слайд 5). В союзе царит дисциплина, послушание, слово учителя – ВСЕ! Союз дружбы становится политическим союзом единомышленников, занимающихся не только наукой, но и имеющих цель похитить власть у народа. И они добиваются этого. Власть над городом в их руках. Пифагорейцы на этом не успокаиваются, они стремятся установить такой же порядок в других городах. Это им также удается.

Но идет время, и в самом Кротоне зреет недовольство правящей знатью и союзом пифагорейцев. Появляются недовольные и среди членов союза. Многие требуют изгнания пифагорейцев. Пифагор покидает город. В эту же ночь разгневанная толпа народа: рыбаков, ремесленников, городской бедноты окружает дом Милона, где собрались пифагорейцы, и уничтожает их.

Сам Пифагор бежит в Метапонт, но и там его преследует гнев народа, и девяностолетний учитель погибает в одной из ночных схваток.

Рис. 1

Такова политическая судьба Пифагора и основанного им союза. Нам абсолютно чужды воззрения аристократа Пифагора, но к исключительным заслугам Пифагора – ученого мы должны отнестись с уважением. Союз пифагорейцев распался, члены его расселились по всем городам Греции и, обучая математике других, постепенно раскрыли все научные знания, известные им. То, что было ранее, при жизни Пифагора, тайной для других, стало достоянием всех.

Надеюсь, что сегодня каждый из присутствующих здесь союзов, сможет поделиться с нами теми знаниями,которые пока известны только им.

А путеводной звездой для нас будет этот знак. (Слайд 6)

Пифагорейская звезда.

Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев был пентаграмм, называемый также пифагорейской звездой.

Пифагорейцы пользовались этой фигурой, вычерчивая ее на песке, чтобы приветствовать и узнавать друг друга. Эту фигуру можно получить, если продолжить стороны правильного пятиугольника до их взаимного пересечения.

Задание классу: из нарисованного пятиугольника построить звезду. (Слайды 7, 8 ,9).

Фигура эта в самом деле необычно интересна, она обладает свойствами, выделяющими ее среди других звезд: сумма углов пентаграмма равняется двум прямым углам.

Задание каждой группе: доказать, что сумма углов пентаграмма равна 180°. (Слайд 10).

Рис. 2

Сумма углов правильного пятиугольника равна 180⁰ · (5 – 2) = 540⁰ . Каждый угол: 540⁰ : 5 = 108⁰ . Смежный с ними: 180⁰ – 108⁰ = 72⁰ °. Угол при вершине: 180⁰ – 72⁰ · 2 = 36⁰ . Сумма всех углов: 36⁰ · 5 - 180⁰  . (Слайд 11)

В трагедии И.В. Гете можно найти такие слова:

Мефистофель:

Я в некотором затрудненьи.
Мне выйти в сени не дает
Фигура под дверною рамой.

Фауст:

Ты испугался пентаграммы?
Каким же образом тогда
Вошел ты чрез порог сюда?
Как оплошал такой пройдоха?

Мефистофель:

Всмотритесь. Этот знак начертан плохо.
Наружный угол вытянут в длину
И оставляет ход, загнувшись с края.

3-я группа расскажет о пифагорейских треугольниках. (Слайд 12)

Пифагорейские треугольники.

Одной из теорем, приписываемой Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника, равной двум прямым углам.

Рис. 3

В практике при построении прямого угла пользовались треугольником со сторонами 3, 4, 5. Этот треугольник был известен египтянам и другим народам Древнего Востока в глубокой древности. Не случайным является то обстоятельство, что именно такие пропорции археологи находят в размерах тесанных плит пирамиды Хефрена. Еще более знаменательным является тот факт, что так называемая царская комната в знаменитой пирамиде Хеопса имеет размеры, особенным образом связанные с числами 3, 4, 5. Диагональ всей комнаты содержит 5 тех самых единиц, из которых самая длинная стена имеет 4, а диагональ самой маленькой стены – 3 единицы. Такой треугольник называется ПИФАГОРОВЫМ или ПИФАГОРЕЙСКИМ или ЕГИПЕТСКИМ. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 считался в древности магической фигурой. Он обладает еще и другими интересными особенностями: S = ½ · 3 · 4 = 6, то есть  числу, следующему по порядку за числами 3, 4, 5.

P = 3 + 4 + 5 = 12 = 2 · 6;
2 · 6 = 3 + 4 + 5

 Неудивительно, что по мнению Плутарха – это самый прекрасный из всех треугольников.

Задание классу. (Слайд 13): построить треугольник со сторонами 3, 4, 5 и на его сторонах построить квадраты, сравнить площади этих квадратов.

Рис. 4

Вывод. (Слайд 14): квадрат, построенный на гипотенузе, имеет площадь равную сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Эту закономерность Пифагор сумел доказать для всех прямоугольных треугольников. Он не открыл это свойство прямоугольного треугольника, а сумел первым его обобщить и доказать, т.е. перевести его из области практики в область науки.

Гордость пифагорейской мысли.

Выступление 4-й группы. (Слайд 15)

В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно по крайней мере за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в древней Индии. Теорема Пифагора применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римские архитекторы и инженеры, греческий писатель-моралист Плутарх, инженер Витрувий, математик 5 века Прокл и многие другие. Историки сообщают, что Пифагор после открытия, а точнее отыскания доказательства своей теоремы, в благодарность богам за ниспосланное ему откровение велел принести им в жертву быка или, как рассказывают другие, 100 быков. Эта теорема и называлась в средние века ГЕКАТОМБА, что в переводе с греческого означает “100 быков”. На эту тему немецкий поэт Адельберт Ламиссо, который в начале XIX века участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле “Рюрик”, написал сонет (в подлиннике он приведен в книге Л.М. Эйдельс “Избушки на дорожках”).

Во мгле веков пред нашим взором
Блеснула истина. Она
Как теорема Пифагора
До наших дней еще верна.
Найдя разгадку, мудрый старец
Был благодарен небесам.
Он сто быков велел зажарить
И в жертву принести богам.
С тех пор Быки тревожно дышат,–
Они, кляня дары богов,
О новой истине услышав,
Ужасный поднимают рев.
Их старца имя потрясает,
Их истины лучи слепят,
И, новой жертвы ожидая,
Быки, зажмурившись дрожат

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось “ослиный мост” или “бегство убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему Пифагора без понимания, и прозванные “ослами”, не были в состоянии преодолеть теорему, ставшую для них непроходимым мостом. Теорему Пифагора учащиеся называли также “ветряной мельницей”, составляли стишки, например: “Пифагоровы штаны во все стороны равны”. Некоторые рисовали карикатуры.

В настоящее время существует более 300 доказательств теоремы Пифагора. В учебнике “Геометрия 7–9” дано два доказательства.

Попробуем и мы все вместе преодолеть этот “ослиный мост” и доказать сейчас теорему Пифагора.

Ученица доказывает теорему Пифагора (см. учебник "Геометрия 7–9").

Задание классу (Слайд 16): заполнить таблицу:

Существует много доказательств этой теоремы. Индийцы не давали подробного объяснения всем этапам доказательства, а довольствовались словами: ”Смотри!”

Рис. 5

Рис. 6

Учащимся предлагается проверить свои силы в доказательстве пифагорейского соотношения по новым чертежам /для каждой группы свое/ (Слайд 17)

Пифагор и музыка.

Выступление 5-й группы. (Слайд 18)

Кто укажет тот мир, когда окруженный тысячами звуков природы человек прислушался и впервые попытался подражать ее голосам? Кто и когда впервые осознал, что можно заставить звучать давно знакомые предметы?

“Музыка – величайшая сила, она может заставить человека любить и ненавидеть, прощать и убивать” – учили древнегреческие философы.

Одним из таких философов был Пифагор. Много легенд рассказывают греки о Пифагоре. Его ученики утверждают, что он был сыном бога солнца Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора. Но мало ли что рассказывали люди в то легковерное время! Начинал Пифагор как победитель Олимпийских игр по кулачному бою. Сначала он занялся музыкой. Прежде всего его интересовали музыкальные лада и интервалы.

Согласно легенде Пифагор, проходя вблизи одной кузницы, услышал звуки различной высоты от ударов различных молотков. Исходя из этого и размышляя также о звуках, получаемых от струны разной длины, Пифагор открыл: а если уменьшить длину струны вдвое, тон повысится на октаву, т.е. высота тона обратно пропорциональна длине струны.

От трех струн можно получить приятное, гармоническое сочетание звуков, если их длины относятся, как 5:4:3. Отсюда пифагорейцы делали вывод, что от чисел зависит гармония и что числа якобы всегда обусловливают свойства вещей и явлений.

Для их изучения Пифагор использовал МОНОХОРД – однострунный музыкальный инструмент, представляющий собой деревянный прямоугольный ящик, над верхней плоскостью которого крепилась единственная струна. Отсюда и его название"моно" по-гречески -"одна",

"хорд" – "струна".Звук в монохорде извлекался ударом молоточка или защипыванием струны.

На верхней плоскости ящика была нанесена шкала. Перемещая по определенным точкам шкалы подвижную подставку, Пифагор получал звучание различных музыкальных интервалов. Умирая, Пифагор завещал своим ученикам изучать музыку и арифметику.

Рис. 7

Пифагор и теория чисел.

Выступление 6-й группы. (Слайд 19)

Разумеется, о том, что натуральное число бывает четным и нечетным, задолго до Пифагора знал любой продавец на базаре его родного острова Самоса. Ведь ему приходилось раскладывать свой товар попарно, иногда это удавалось, а иногда яблоко, мешок муки или баран оказывались лишними. Пифагор стал думать о свойствах четных и нечетных чисел. Он сложил два четных числа и получил снова четное число. Toже самое вышло, когда он сложил два нечетных числа. А от сложения четного числа снечетным получилось нечетное число.

Не задумывались до Пифагора и о том, почему если один из множителей четный, то произведение окажется четным, а если все множители нечетны, то нечетным будет и произведение.

Решать эти вопросы было для Пифагора затруднительно. Теперь их решают так: если число четное, то оно делится на 2, поэтому его можно записать в виде 2n, где n – натуральное число. Значит, сумма двух четных чисел имеет вид 2n + 2т = 2(n + т). Ясно, что сумма делится на 2. А нечетное число при делении на 2 дает остаток 1, поэтому его можно записать в виде 2n + 1. Значит, сумма двух нечетных чисел имеет вид:

(2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1) . Видим, что получилось четное число.

Также можно доказать, что сумма четного и нечетного числа является нечетным числом, а произведение их – четно, и что произведение двух четных чисел является четным числом.

Золотое сечение.

Выступление 7-й группы. (Слайды 20, 21, 22, 23, 24, 25)

Что такое ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ? Гармония пропорций в природе, математике и искусстве.

Иоганн Kеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и золотым сечением.
И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем.
Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение – далеко не все.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

на две равные части – AB : AC = AB : BC;

на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда AB : AC = AC : BC.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

В процессе подготовки к сегодняшнему уроку, вы многое узнали о Пифагоре, но это лишь частичка от его вклада в математику.

Познакомьтесь с литературой, которую мы использовали для подготовки сегодняшнего семинара.

Домашнее задание: доказательство теоремы Пифагора /по выбору/.

Зачетная карточка группы.

Литература.

1. Щепан Еленьский. По следам Пифагора. – Детгиз, 1961; с.252.
2. Г.И.Глейзер. История математики в школе, – М. .Просвещение, 1964, – с.84,.269,.325.
3. И.Г.Зенкевич. Эстетика урока математики. – М. Просвещение, 1981.
4. М.Зимберквит. Рождение фортепиано. – М. Детская литература, 1984.
5. Избранные вопросы математики / факультативный курс 7–8 класс/.– М..Просвещение,1978; с. 51.
6. Л.М..Эйдельс. Избушка на дорожках. – М.Детская литература, I960.
7. Энциклопедический словарь юного математика. – М. Просвещение, 1989.
8. Л.Ф.Пичугии “ За страницами учебника алгебры”. – Просвещение, 1990.
9. И.Я.Депман,Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики.– М.Просвещение, 1989.
10. Л. С. Атанасян. Геометрия 7–9 / учебник средней школы/. – М. Просвещение с. 125.