В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «смеси и сплавы». Однако эти задачи встречаются как в заданиях ГИА-9, так и в заданиях ЕГЭ-11 по математике. Решение задач по этой теме вызывает у ребят немало трудностей. На факультативных занятиях по математике в 6 классе я рассматриваю с ребятами «старинный » способ решения задач на смеси и сплавы, предварительно обосновав его. Данный способ не вызывает у ребят никаких трудностей, доступен для понимания и ребята в дальнейшем успешно его используют.
Предлагаемые задачи можно использовать на факультативных занятиях в общеобразовательных школах, на уроках в гимназиях и лицеях с углубленном изучением математики, начиная с 6-го класса.
Довольно часто приходится смешивать различные
жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или
твердые вещества, разбавлять что-либо водой или
наблюдать испарение воды, т.е. усыхание.
Одной из наиболее распространенных
характеристик смеси является концентрация
конкретной составляющей смеси, т.е. отношение
количества этой составляющей к общему
количеству смеси. На практике концентрации
принято выражать в сотых долях единицы,
называемых процентами.
Содержание какого-либо драгоценного металла в
сплаве с примесями обычно называют пробой и
обозначают числом тысячных долей единицы.
Например, говоря о золоте 573-й пробы, мы
подразумеваем, что в каждых 1000 г такого «золота»
содержится 573 г чистого золота.
Рассмотрим «старинный» способ расчетов при
смешивании.
Задача 1.
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-ной и раствор 70%-ной кислоты, чтобы получить раствор 65%-ной кислоты?
Решение: Для решения задачи нарисуем схему
в которой слева запишем требуемую концентрацию кислоты в процентах, т.е. 65, затем друг под другом запишем концентрации имеющихся растворов, т.е. 50 и 70, наконец, подсчитаем и запишем крест-накрест соответствующие разности 65 – 50 = 15 и 70 – 65 = 5. Теперь можно сделать вывод, что для получения 65-процентной кислоты нужно взять растворы 50-процентной и 70-процентной кислот в отношении 5 : 15, или 1 : 3.
Ответ: 1 : 3
Дадим обоснование этому способу.
Пусть требуется смешать растворы а-процентной
и b-процентной кислоты, чтобы получить с-процентный
раствор. Пусть а < b, причем a <
c < b: если с < a или c
> b, то с-процентный раствор, конечно
получить нельзя. Пусть берется х частей
первого раствора и у частей второго, то
выполняется равенство 
, откуда вытекает соотношение (b – c)y
= (c – a)x, т.е. x : y = (b – c)
: (c – a). Такой же вывод дает описанная
в условии задачи схема
Таким образом, использование схемы вполне обосновано.
Задача 2.
В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-пробы, чтобы получить золото 500-пробы?
Решение:
Пользуясь старинным способом, получим схему
Отсюда делаем вывод, что золото 375-й пробы и 750-й пробы нужно сплавлять в отношении 250 : 125 = 2 : 1.
Ответ: 2 : 1
Задача 3.
Имеется 90 г 80-процентной уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9-процентного столового уксуса из нее можно получить?
Решение:
Столовый уксус из эссенции можно получить, разбавив ее водой, т.е. 0-процентным «уксусом». Применяя старинный способ, имеем схему:
из которой получаем, что 9 частей эссенции
нужно разбавить 71 частью воды, т.е. к 90 г эссенции
следует добавить 
г воды. В результате получится 90 + 710 = 800 г
столового уксуса.
Ответ: 800 г
Задача 4.
Сколько пресной воды нужно добавить к 4 кг морской воды, чтобы уменьшить содержание соли в ней в 2,5 раза?
Решение:
Если обозначить через а содержание соли в морской воде и воспользоваться старинным способом, то получится схема
таким образом, пресную и морскую воду нужно
смешать в отношении 
, а, значит, к 4 кг морской воды нужно
добавить 6 кг пресной.
Ответ: 6 кг
Задача 5.
Индийский чай дороже грузинского в 
раза. В каких
пропорциях нужно смешать индийский чай с
грузинским, чтобы получить чай дороже
грузинского в 
раза?
Решение:
Если использовать старинный способ, то получится схема
Следовательно, грузинский чай с индийским надо
смешивать в отношении 
Для того чтобы обосновать полученный
результат, достаточно убедиться в том, что
использование старинного способа здесь
правомерно. В самом деле, никакой принципиальной
разницы нет в том, подсчитывать ли содержание
какого-либо вещества в единице смеси или
стоимость единицы смеси, т.е. количество денег,
уплаченное в среднем за единицу смеси.
Задачи для самостоятельного решения
1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным раствором той же кислоты и получили 600 г 15%-ного раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора взято?
2. Сплав меди и цинка содержал 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было в сплаве первоначально?
3. В 30%-ный раствор серной кислоты добавили 200г воды, после чего чистой серной кислоты в новом растворе стало 25%. Сколько воды и сколько чистой серной кислоты было в растворе первоначально?
4. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить в сплав, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?
5. Смешали 25%-ный раствор серной кислоты с 20%-ным раствором серной кислоты и получили 800 г 23%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора взято?
6. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?
7. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
8. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
9. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй – 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50%-го раствора соляной кислоты?
Решение задач
1. 
1) 5 : 15 = 1 : 3 – отношение 30%-ого р-ра к 10%-ому
2) 600 : 4 = 150(г) масса 30%-ого р-ра
3) 600 – 150 = 450(г) масса 10%-ого р-ра
Ответ: 150г, 450г
2.
1) 6 : 35 – отношение цинка к массе 82%-ого сплава
2) 18 : х = 6 : 35 х = 105 г – масса 82%-ого сплава
3) 105 • 0,82 = 86,1(кг) масса меди
4) 105 – 86,1 = 18,9(кг) масса цинка
Ответ: 86,1 кг; 18,9 кг
3. 
1) 5 : 1 – отношение 30%-ого р-ра к воде
2) 200 : х = 1 : 5 х = 1000(г) масса 30%-ого р-ра
3) 1000 • 0,3 = 300(г) масса серной к-ты
4) 1000 – 300 = 700 (г) масса воды
Ответ: 300г, 700г
4. 
1) 8 : 1 – отношение массы 55%-ого сплава к массе
олова
2) 16 : х = 8 : 1 х = 2(кг) масса олова
Ответ: 2
5. 
1) 3 : 2 – отношение 25%-ого р-ра к 20%-ому
2) 800 : 5 = 160(г) масса одной части
3) 160 • 3 = 480(г) масса 25%-ого р-ра
4) 160 • 2 = 320(г) масса 20%-ого р-ра
Ответ: 480г, 320г
6. 
1) 8 : 1 – отношение массы 45%-ого сплава к массе
олова
2) 12 : 8 = 1,5(кг)
Ответ: 1,5 кг
7. 
1) 40 : 15 = 8 : 3 – отношение массы 45%-ого сплава к
массе меди
2) 8 : 3 = 36 : х
х = 13,5(кг) масса меди
Ответ: 13,5кг
8. 
1) 10 : 25 = 2 : 5 – отношение массы 5%-ого лома к массе
40%-ого
2) 140 : 7 = 20(т) масса одной части
3) 20 • 2 = 40(т) масса 5%-ого лома
4) 20 • 5 = 100(т) масса 40%-ого лома
Ответ: 40т, 100т
9. 
1) 2 : 3 – отношение 20%-ого р-ра к
70%-ому
2) 100 : 5 = 20(л) объем одной части
3) 20 • 2 = 40(л) объем 20%-ого р-ра кислоты
4) 20 • 3 = 60(л) объем 70%-ого р-ра кислоты
Ответ: 40л, 60л