Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с формулами сокращенного умножения (a+b)²=a²+2ab+b² и (a-b)²=a²-2ab+b² и доказать их справедливость с помощью геометрической иллюстрации и аналитически, используя умножение многочлена на многочлен.
2. Формировать умения и навыки самостоятельно проводить доказательства справедливости формул сокращенного умножения, правильно читать эти формулы, называть их компоненты; применять полученные формулы к преобразованию выражений.
3. Развивать математическое мышление, познавательную деятельность, умение ставить перед собой задачу, находить ее решение, проверять правильность своих действий и объективно оценивать их.
4. Развивать правильную математическую речь, умение слушать, сравнивать, делать выводы.
5. Воспитывать культуру общения, культуру речи, умение работать в группе и паре.
6. Воспитание интереса к предмету.

Структура урока

1. Организационный момент

• Проверка готовности учащихся к уроку, положительный эмоциональный настрой.
• Подготовка к восприятию.
• Беседа по теме “Формулы сокращенного умножения”

2. Ход урока

• Мотивация. Выработка целей урока, сообщение содержания учебной деятельности на уроке.
• Актуализация опорных знаний. Устная работа.
• Изучение нового материала.
• Работа в группах.
• Анализ полученных результатов работы в группах.
• Первичное закрепление знаний. Проверка уровня обучаемости.
• Коррекция
• Самостоятельная работа в группах, самоконтроль и взаимоконтроль.

3. Закрепление. Уровневый тест по вариантам.

• Контроль.
• Коррекция.
• Подведение итогов урока.

4. Итог урока. Рефлексия. Домашнее задание.

Ход урока

1. Мотивационно-ориентировочный этап

Учитель: “Математику называют “царицей наук”, ей больше, чем какой– либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Мы продолжаем изучать тему “Умножение многочленов”. Ещё в глубокой древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращенного умножения. (слайд 1)

Их несколько. А сегодня на уроке нам предстоит сыграть роль исследователей и “открыть” две из них. Попробуйте сформулировать тему нашего сегодняшнего урока”.

Ученики: тема урока “Формулы сокращенного умножения”. (слайд 2)

• Учитель: “Давайте поставим перед собой цели урока”
• Ученики: “Узнаем формулы сокращённого умножения, научимся их записывать, читать, проговаривать и пользоваться ими.
• Учитель: “Правильно, на сегодняшнем уроке мы научимся умножать некоторые многочлены быстрее и короче, чем мы уже умеем делать. Продолжим работу над правильной математической речью, культурой общения друг с другом, умением работать в парах, в группе”

Для достижения целей урока мы:

• Выполним устную работу.
• Объединимся в группы и проведем два исследования, сравним полученные результаты, сделаем вывод и запишем получившиеся формулы.
• Научимся пользоваться этими формулами.
• Сделаем компьютерный тест, который позволит вам оценить, на каком уровне вы усвоили новую тему и поняли данный материал.

Начать наше занятие мне бы хотелось со слов замечательной женщины – великого математика Софьи Васильевны Ковалевской “ У математиков существует свой язык– это формулы”. (слайд 3)

2. Подготовка к восприятию новой темы.

Задача: выполнив устные задания, сделаем выводы о том, что надо знать и уметь для того, чтобы “открыть” формулы сокращённого умножения.

2. Устная работа: (слайд 4)

3. Изучение новой темы

1) Для исследовательской работы учащиеся по своему желанию объединяются в группы, которые были определены до урока. Всего пять групп, в которые вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа имеет свой номер и получает своё задание, соответствующее номеру задания в левом столбце таблицы. Задания представлены на слайде в виде таблицы. Средняя и правая части пустые. (слайд 5)

Задача:

• Объединитесь в группы;
• Выберите старшего;
• Получите задание, оно соответствует номеру группы;
• Выполните умножение двучленов.
• Озвучьте (старший группы) и сравните свой результат с результатом в правой части таблицы (слайд 6)

Когда правая часть открылась, учитель привлекает учащихся к фронтальному обсуждению результатов.

Вопросы: Что общего в условиях? В ответах? Можно ли выражение в левом столбце записать короче?

Получив ответы, открывается средняя часть таблицы (слайд 7)

Учитель обращает внимание детей на то, что они фактически уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двучленов (левый столбик таблицы), то есть возводили в квадрат сумму двух выражений (средний столбик).

Класс переходит к обсуждению получившихся результатов в правом столбце.

Учитель задает вопросы:

– Что общего в полученных результатах? Как называются выражения, получившиеся в правой части таблицы (трехчлены)

– Что представляет первый, второй и третий члены трехчлена? (первый – квадрат первого слагаемого (выражения), второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых (первого и второго выражений), третий – квадрат второго слагаемого (выражения).

Задача: результаты умножения рассматриваются в пяти различных вариантах и каждый вариант “проговаривается”.

Итак, мы открыли формулу квадрат суммы двух выражений: (а + b)² = а² + 2аb + b² (слайд 8)

Учащиеся записывают формулу и проговаривают вслух.

2) Применение формулы “квадрат суммы двух выражений” (шифрограммы) (слайд 9)

Предлагается учащимся нарисовать свои индивидуальные шифрограммы.

3) Учитель: “Продолжаем исследование. Изменится ли результат, если будем возводить в квадрат не (а + b), а выражение (а – b)? ”.

Учащиеся выдвигают предположения, которые учитель предлагает проверить на практике.

Задача группам: замените в выражениях левого столбца плюс на минус, выполните вычисления. (Cлайд 10)

Озвучьте и сравните ваши результаты с результатами на слайде (слайд 11)

Учитель привлекает учащихся к совместному обсуждению результатов. В итоге выясняется, что новые произведения отличаются от ранее записанных – знаком перед удвоенным произведением. (Слайд 12)

Итак, мы открыли вторую формулу сокращенного умножения – формулу квадрат разности двух выражений: (а – b)² = а² – 2аb + b². (слайд 13)

Учащиеся записывают формулу и проговаривают вслух. Учитель подчеркивает, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат разности двух выражений.

4) Применение формулы “квадрат разности двух выражений” (шифрограммы) (слайд 14)

5) Первичное закрепление знаний. (слайд 15)

6) Геометрическое обоснование формул сокращенного умножения. (выступление ученика) (слайды 16,17)

Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с шестого века до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме.

Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке. В его работах появляются зачатки буквенной символики и специальных обозначений. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений знали еще в Древнем Вавилоне, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.

Закрепление изученного:

На слайде 18 учитель представляет учащимся 7заданий. Задача: индивидуально или в паре выберите и выполните любые три задания. Обоснуйте свои ответы и сравните их правильность с ответами на слайде.

Аналогично выполняются задания со слайда 19.

Проверка изученной темы. Выполнение теста в программе Excel на компьютерах (два уровня сложности – на выбор учащихся)

3. Подведение итога урока, рефлексия, выставление оценок. (слайд 20)

Рефлексия.

Учащимся можно предложить заполнить небольшую анкету (выбранный ответ учение подчеркивает). Можно попросить учеников аргументировать свой выбор.

4. Домашнее задание (на выбор учителя).

Тест

Презентация