Прямоугольный треугольник и прямоугольный тетраэдр

Басова Галина Анатольевна

Изучая пространственные фигуры, полезно сравнивать их с более плоскими фигурами. Прямая и плоскость, параллелограмм и параллелепипед, окружность и сфера обладают сходными свойствами.

Тетраэдр (или треугольная пирамида) имеет сходство с треугольником.

Треугольник есть многоугольник с наименьшим числом сторон, тетраэдр – многогранник с наименьшим числом граней.

Тетраэдр – более сложная фигура, чем треугольник, и не удивительно, что его свойства более многообразны.

Рассмотрим один специальный вид тетраэдра – прямоугольный тетраэдр. Пусть дан прямоугольный параллелепипед (чертеж 1)

Через концы трех его ребер, выходящих из одной вершины, проведем плоскость. Эта плоскость отсекает от прямоугольного параллелепипеда тетраэдр ДАВС, у которого все плоские углы при вершине Д прямые (трехгранный угол при вершине Д прямой). Такой тетраэдр называется прямоугольным. Грань АВС будем называть основанием, а ребра АД, ВД, СД – боковыми ребрами тетраэдра.

Подобно тому, как прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, проведя через вершины острых углов прямые, параллельные катетам, всякий прямоугольный тетраэдр можно дополнить до прямоугольного параллелепипеда, если через его вершины А, В, С провести плоскости, параллельные противоположным граням тетраэдра.

Такое вспомогательное построение выгодно применять при решении некоторых задач.

Прямоугольный тетраэдр аналогичен прямоугольному треугольнику.

∆ АВС, С=90°
Теорема Пифагора:
АВ²=АС²+ВС²

(чертеж 2)

Элементы прямоугольного треугольника можно вычислять, если даны его катеты. Прямоугольный тетраэдр однозначно определяется заданием трех его взаимно перпендикулярных ребер.

Получим аналог теоремы Пифагора, к которому приводит следующая задача.

I

1. Найти площадь основания прямоугольного тетраэдра ДАВС, если ДА=а, ДВ=в, ДС=с (чертеж 2).

Решение.

Проводим высоту СЕ ∆ АВС. Т.к. ребро СД (АВД), то ДЕ – высота ∆ АВД (на основании теоремы о трех перпендикулярах).²

Обозначим: S (ABC) = S. AB = m

из ∆ АВД находим:

ДЕ =

из ∆ СЕД находим:

СЕ =

Следовательно,

S=∙½AB∙CE=½m=∙½

m²=a²+b², то S=∙½

Полученную формулу можно преобразовать так, чтобы было видно сходство с теоремой Пифагора. Обозначим: S (ВСД) = S₁, S (САД) = S₂, S(АВД) = S₃.

Поскольку S₁= ½вc, S₂= ½ac, S₃= ½aв, то формула принимает вид

S² = S₁² + S₂² + S₃².

2. Доказать что площадь боковой грани прямоугольного тетраэдра есть средне пропорциональное между площадью основания и площадью проекции этой грани на плоскость основания.

(Чертеж 3).

Обозначим: S (ВСД) = S₁, S (АСД) = S₂, S (АВД) = S₃, S(АВС) = S, S (ВСН) = S₁^'

Докажем, S₁²= S ∙ S₁^'.

S= ½ВС∙АК, S₁^'=½ВС∙НК, S₁=½ВС∙ДК.

¼ВС²∙ДК² = ¼ВС²∙АК ∙ НК.

Это равенство выполняется в прямоугольном треугольнике АДК, ДК – катет, НК – его проекция на гипотенузу АК.

S (ABH) = S₃^', S (ACH) = S₂^'

Тогда,

S₁²= S ∙ S₁^'

S₂²= S ∙ S₂^'

S₃²= S∙ S₃^'

Сложив эти равенства, получим:

S² = S₁² + S₂² + S₃²

Решение задачи, относящейся к прямоугольному тетраэдру, облегчается, если предварительно рассмотреть сходную задачу для прямоугольного треугольника. При этом иногда удается отыскать такой способ решения более простой планиметрической задачи, который можно приспособить и для решения соответствующей стереометрической задачи. Покажем это на следующих примерах.

а) катеты прямоугольного треугольника равны a и в. Найти высоту треугольника, проведенную из вершины прямого угла.

б) боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны а, в, с. Найти высоту тетраэдра.

(чертеж 4).

а) Решение.

Обозначим: АВ=с, CH=h.

Выразив площадь треугольника двумя способами, получим

½ch = ½ав

Откуда h = ; h = ; или = + .

б) Решение. Будем рассуждать аналогично.

Пусть h – высота тетраэдра ДАВС, проведенная к основанию АВС, S – площадь основания, S₃ – площадь грани АВД.

Объем V тетраэдра можно выразить двумя способами.

V = S∙ h, V = S₃∙c = авс

Отсюда находим:

Sh = авс;

h = ;

= + .

а) Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, еслие его катеты а и в.

б) найти радиус сферы, описанной около прямоугольного тетраэдра, если его боковые ребра равны а, б, с.

(чертеж 5).

а) Решение. Дополним прямоугольный ∆ АВС до прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения О делятся пополам, то ОА=ОВ=ОС=ОД, т.е. точка О – центр описанной около ∆АВС окружности и АВ – ее диаметр. R найдем по теореме Пифагора:

R = ½.

б) Решение. Проведем аналогичные рассуждения.

Дополним прямоугольный тетраэдр ДАВС до прямоугольного параллелепипеда. Так диагонали его равны и в точке пересечения О делятся пополам, то ОА = ОВ = ОС = ОД, т.е. точка О центр описанной около тетраэдра ДАВС сферы, а диагональ ДЕ – диаметр этой сферы, но ДЕ = , следовательно R = ½.

а) Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его катеты а и в.

б) Найти радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, если его боковые ребра равны а, в, с.

(чертеж 6).

а) Решение. Из центра О проведем радиусы к сторонам треугольника и центр О соединим с вершинами прямоугольного треугольника АВС. Наш прямоугольный треугольник разбился на три треугольника. Будем использовать метод сравнения площадей.

½ав = ½аr + ½вr + ½вс;

ав = r (а + в + с);

r = ;

с =

2r = а + в – с.

б) Решение. Проведем аналогичные рассуждения. Центр вписанной сферы соединим с вершинами прямоугольного тетраэдра А, В, С, Д.

Наш тетраэдр разобьется на четыре тетраэдра, высотами которых является радиус сферы r. Сравним объемы.

авс = всr + асr + авr + r;

авс = r (ав +вс+ас+ );

r = ;

r =.

а) Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна радиусу описанной окружности.

б) Доказать, что медиана прямоугольного тетраэдра, проведенная из вершины прямого трехгранного угла, равна радиуса описанной сферы.

(чертеж 7).

а) Решение. Т.к. АО=ОВ=СО, то СО – медиана.

m = R; m = ½.

б) Решение. Выполним то же вспомогательное построение, что и при нахождении радиуса описанной сферы. Покажем, что отрезок ДМ, диагонали ДЕ параллелепипеда, где М – точка пересечения диагонали с гранью АВС, является медианой ДАВС. Диагональное сечение АДGE параллелепипеда имеет с гранью АВС общие точки A, F, (F – середина BC) и, следовательно, пересекает плоскость АВС по прямой AF. Отрезки ДЕ, АF, лежащие в плоскости диагонального сечения, пересекаются в точке М, причем из подобия ∆ АЕМ, ∆ ДFM следует, что

= = 2

А так как AF – медиана ∆ АВС, то точка М – его центроид. Следовательно, ДМ – медиана тетраэдра ДАВС. Остается заметить, что из подобия тех же треугольников АМЕ и ДМF следует:

ДМ = ½МЕ = ½ДЕ;

т.е.m = R;

m =

а) Катеты прямоугольного треугольника равны а и в. Найти сторону квадрата, вписанного в треугольник так, что одна из вершин квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а противоположная вершина лежит на гипотенузе.

б) Боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны а, в, с.

Найти ребро куба, вписанного в тетраэдр так, что одна из вершин куба совпадает с вершиной тетраэдра, а противоположная вершина лежит на основании.

(чертеж 8)

а) Решение. Пусть СДЕF – квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник АВС. По условию ВС = а, АС = в. Сторону квадрата обозначим через х. Так как площадь ∆ АВС равна сумме площадей ∆ АСЕ, ∆ ВСЕ, то можно составить уравнение (применяя метод сравнения площадей)

½ах + ½вх = ½ав

откуда

х = ;

или

б) Решение. Воспользуемся методом решения вспомогательной задачи.

Пусть вершина L куба лежит на основании АВС. Тетраэдр можно разбить на три тетраэдра: LABД, LВСД, LАСД. Основаниями этих тетраэдров являются прямоугольные треугольники АВД, ВСД и АСД, а высота каждого из них равна ребру куба. Поскольку объем тетраэдра ДАВС = 1/6 (авс), то обозначив ребро куба через х, получим (применяя метод сравнения объемов)

авс = авх + всх + асх

х =

или

= + +

Примечание: Диагональ СЕ квадрата является биссектрисой прямого угла ∆ АВС.

СЕ = l_с; l_с = х = ;

или

= ( + )

Плоскость АДЕ делит двухгранный угол тетраэдра пополам и, следовательно, является биссектральной плоскостью этого угла. Биссектральные плоскости двухгранных углов АД, ВД, СД пересекаются по прямой ДL. Отрезок ДL этой прямой называется биссектрисой тетраэдра ДАВС. ДL = l , получим

l= х = ;