Цели урока:
- формировать умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений;
- осуществлять поиск решения задач синтетическим методом;
- учить наблюдать и анализировать.
Тип урока: изучение нового материала.
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап
1) Повторение изученного материала;
2) Актуализация прежних знаний и способов действия;
3) Мотивация учебной деятельности;
4) Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.
2. Операционно-познавательный этап
Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов решения)
3. Рефлексивно-оценочный этап
1) Сопоставление целей и результатов урока.
2) Первичный контроль усвоения знаний.
3) Постановка домашнего задания.;
4) Подведение итогов урока.
ХОД УРОКА
1 этап урока
На доске записаны задания:
1) | х | = 5;
– Сколько корней имеет данное уравнение?
– Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?
2) | х – 3 | = 5.
– Какие способы вы можете предложить для решения данного уравнения?
После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и аналитическим способами на доске.
| х – 3 | = 5 | х – 3 | = 5
х – 3 = 5 х – 3 = – 5 у = | х – 3 |, сдвиг графика
х = 8 х = – 2 у = | х | на 3 ед. вправо.
Ответ: х = 8, х = – 2. y = 5 – прямая || оси абсцисс.
3) Прочитать и объяснить словесную запись:
ρ (х; 7) = 2; ρ(х; – 5) = 3
Предполагаемый ответ (ПО): Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.
ПО: Найти точки, которые находятся от точки – 5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.
– В чем заключается геометрический смысл модуля?
ПО: Расстояние между точками на координатной прямой.
4) Записать аналитическую модель рисунка:
ПО: | х + 6 | = 3
5) | х – 2 | = 3
– В чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?
ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.
– Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.
Ρ(х; 2) = 3; х – 2 = 3 х – 2 = – 3
х = 5 х = – 1
– Как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?
6) Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля | х + 5 | = 3, найдите его корни, используя координатную прямую.
ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки – 5.
Ответ: х = – 2; х = – 8.
7) | х – 2 | = | х + 5 |
Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.
ПО: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.
Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.
ПО:
а) найдем расстояние между точками – 5 и 2.
5 + 2 = 7.
б) т.к. х равноудалена от точек – 5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2 = 3,5
в) найдем координату точки: – 5 + 3,5 = – 1,5 или 2 – 3,5 = – 1,5
– Молодцы! Назовите способ, с помощью которого мы с вами решили данное уравнение. Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься сегодня на уроке? Попробуйте сами сформулировать тему сегодняшнего урока.
2 этап урока
Учащиеся записывают в тетрадь тему урока: «Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений».
1) Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:
| х – 1 | + | х – 2 | = 1
ПО: Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2. Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.
– Найдите расстояние между точками 2 и 1. Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1; 2].
Ответ: х Є [1; 2].
2) | х – 1 | + | х – 2 | = – 1
– Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.
ПО: Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.
3) | х – 1 | + | х – 2 | = 3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?
ПО: Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.
Уравнение имеет 2 корня: х = 0; х = 3.
4) Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение: | х – 3 | + | х – 7 | = 4
Ответ: х Є [3; 7]
5) | х – 3 | – | х – 7 | = 4
– В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?
ПО: Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.
– Так как расстояние между 3 и 7 равно 4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.
Ответ: х Є [7; ∞).
6) | х – 7 | – | х – 3 | = – 4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ, обязательно изобразить решение на координатной прямой).
Ответ: х Є [7; ∞).
7) | х – 7 | – | х – 3 | = 4
Ответ: х Є (-∞; 3].
3 этап урока
– Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод.
ПО: Сумма расстояний всегда положительна, а разность может принимать любое по знаку число.
Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками, вызванными к доске задания:
| х – 9 | = 3
| х – 6 | = | х + 2 |
| х – 9 | + | х – 3 | = 6
| х – 9 | – | х – 3 | = 6
и еще раз проговаривают схему решения данных уравнений.
– Подведем итог урока.
– Что нового вы узнали сегодня на уроке?
– Сколько способов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, вы знаете?
– В чем заключается геометрический смысл модуля?
– Запишите в тетради задание на дом:
| х – 13 | = 8
| х – 28 | = | х + 14 |
| х – 10 | + | х – 36 | = 26
| х – 18 | – | х – 12 | = 6
| х – 18 | – | х – 12 | = – 6