Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью

Комбинированный урок.

Продолжительность: 1 урок, 45 минут.

Класс: 10.

Цель урока: Ввести понятия наклонной, проекции наклонной, угла между прямой и плоскостью. Закрепить эти понятия в ходе решения задач.

Задачи урока:

1. повторить понятия расстояния от точки до плоскости и прямой, перпендикулярной плоскости;
2. ввести понятия наклонной, проведенной из точки к плоскости; проекции наклонной;
3. рассмотреть свойства наклонных и их проекций;
4. дать определение угла между прямой и плоскостью;
5. закрепить введенные понятия;
6. развивать логическое и пространственное мышление, самооценку учащегося.

Оборудование: компьютер, листы бумаги формата А4, деревянные палочки (одна из них окрашена в красный цвет), пластилин.

Демонстрации: презентация Microsoft PowerPoint 2003.

Ход урока 

I. Организационный момент.

Учащийся готов к уроку. Начинаем наш урок.

II. Проверка домашнего задания.

Учащемуся задано на дом следующее задание:

1. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР = 4 см, НК = 5 см, МЕ = 12 см.
2. Найдите синус, косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8 см, АВ = 17 см.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противоположный угол равен d. Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и d.

Учащийся с помощью компьютера (слайды 2, 3, 4) проверяет домашнее задание, оценивает свою работу, ставит оценку за работу (самооценка), учитель в течение урока проверяет домашнее задание учащегося и ставит рядом оценку за выполненную работу.

Учитель актуализирует знания учащегося в ходе устной работы по домашнему заданию (слайды 6, 7).

III. Сообщение темы и целей урока.

Учитель сообщает тему урока, ученик записывает ее в тетрадь. Учитель сообщает цели урока.

IV. Введение нового материала.

Учитель вводит новый материал (слайд 9).

Ученик делает чертеж в тетради, записывает определение проекции и устно отвечает на поставленные вопросы.

Учитель: рассмотрим некоторые свойства наклонных, выходящих из одной точки (слайд 10).

Ученик делает модели первого и второго свойства, используя деревянные палочки (в качестве перпендикуляра к плоскости использует окрашенную палочку), пластилин и бумагу формата А4 и устно доказывает каждое из утверждений с помощью построенной модели. Третье свойство наклонных принимаем без доказательства.

Учитель: Прямая, пересекающая плоскость образует с ней некоторый угол. Что называют углом между прямой и плоскостью?

Определение: За угол между прямой и плоскостью принимают угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

(слайд 11)

Учащийся записывает в тетрадь определение, делает чертеж и обозначает угол.

Учитель формулирует утверждение:

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из углов, которые образует наклонная с любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ученик устно доказывает это утверждение с помощью учителя и компьютера (слайд 12).

V. Решение упражнений.

Учитель кладет перед учащимся опорную карточку по значениям тригонометрических функций для некоторых углов.

Опорная карточка.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов. 

Учащийся самостоятельно выполняет задание № 163(а) и № 165 из учебника (слайд 13).

№163(а). Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 45°?

Решение:

№165. Из точки А, удаленной от плоскости g на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость g   образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Учащийся внимательно читает задание № 165, по условию строит модель на бумаге формата А4 с помощью палочек и пластилина. Анализирует данные, затем приступает к решению задачи, оформляя решение в тетради.

Решение:

Так как АО^a, то DАВО и DАОС – прямоугольные треугольники.

По теореме косинусов для DВОС:

ВС²=ВО² + ОС² - 2·ВО·ОС·COS 120°
COS 120°= - 0,5
ВС²=3d² + 3d² - 2·3d·d·(-0,5)
ВС²=6d² + 3d²
ВС²=9d²
BC=3d

Ответ: BC=3d.

VI. Итоги урока.

Учитель в ходе устного опроса подводит итоги урока (слайд 15). Учащийся отвечает на вопросы.

Учитель задает учащемуся следующие вопросы: доволен ли ты итогами урока? Доволен ли ты собой на уроке? С каким настроением ты работал на уроке? Устал ли ты? Какую бы отметку ты бы поставил себе за этот урок?

VII. Выставление оценки за урок с комментарием учителя.

VIII. Домашнее задание.

выучить теорию, №154, №163(б), прочитать и разобрать решение №162 (слайд 16).