Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Разделы: Математика


Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

  • научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
  • продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
  • продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
  • воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
  • напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

  • таблица основных формул интегрирования;
  • карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Ход занятия

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос:

  1. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
  2. Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?
  3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
  4. В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
  5. Найти интегралы:
  6. 2

III. Повторение опорных знаний учащихся.

1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.

  1.  cos x+ C
  2.   = sin x + C
  3. = tgx + C
  4.   p ≠ -1, k ≠ 0
  5.  dx= ln(kx+b)+C, где k
  6.  dx=+C, где k
  7. cos(kx+b)+C, где k
  8. =
  9.   dx=+C, где a
  10.   = arctg+C, a
  11.   = ln││+ C, a
  12.  dx=+ C, a
  13.  =
  14.  =
  15.  =x ln x C
  16.  

2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

IV. Изучение нового материала.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
  4. Производят замену под интегралом.
  5. Находят полученный интеграл.
  6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) )4

Введем подстановку:

 

Дифференцируя это равенство, имеем:  

Далее см. приложение 1

V. Применение знаний при решении типовых примеров.

  1.  
  2. ;
  3. .

VI. Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Вариант 1

Найти интегралы:

  1. ;
  2. ;
  3. .

Вариант 2

Найти интегралы:

  1. ;
  2. ;
  3. .

VII. Подведение итогов занятия.

VIII. Домашнее задание:

Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)