Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Автандилова Надежда Юрьевна, преподаватель математики

Разделы: Математика

Тип занятия: изучение нового материала.

Учебно-воспитательные задачи:

научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.

Обеспечение занятия:

таблица основных формул интегрирования;
карточки-задания для проверочной работы.

Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.

Мотивация познавательной деятельности студентов.

Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Ход занятия

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос:

Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
Найти интегралы:
2

III. Повторение опорных знаний учащихся.

1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.

cos x+ C
= sin x + C
= tgx + C
p ≠ -1, k ≠ 0
dx= ln(kx+b)+C, где k
dx=+C, где k
cos(kx+b)+C, где k
=
dx=+C, где a
= arctg+C, a
= ln││+ C, a
dx=+ C, a
=
=
=x ln x C

2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

IV. Изучение нового материала.

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) )4