Решение планиметрических задач. 9-й класс

Пояснительная записка

При подготовке к устному экзамену по геометрии, а так же при подготовке к ЕГЭ, учащиеся испытывают трудности при решении задач даже на традиционные формулы, которые применяются в несколько нестандартных задачах.

Факультатив по решению планиметрических задач поможет учащимся подготовиться к экзамену. А так же в 10-11 классах при изучении стереометрии и решении задач по стереометрии, учащимся пригодятся хорошие знания планиметрических формул, теорем и основных методов решения задач.

Все занятия направлены на расширение и углубление школьного курса геометрии. В процессе занятий сделаны акценты на теоремы и свойства геометрических фигур, которым не уделяется должное внимание на уроках, в силу ограниченности времени, такие как теорема Минелая, теорема Чевы, нестандартные формулы для вычисления площадей.

В результате изучения курса учащиеся должны:

• точно и грамотно формулировать теоретические положения;
• дополнить знания теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи;
• расширить и углубить свои представления о приёмах и методах решения планиметрических задач;
• овладеть рядом технических умений на уровне их свободного использования;
• развить интерес и положительную мотивацию к изучению геометрии.

Учебно-тематический план

Содержание программы курса

Тема1. Треугольники

• Метрические соотношения в произвольном и прямоугольном треугольниках.
• Свойства биссектрис, высот и медиан треугольника.
• Теоремы Чевы и Менелая; решение задач на применение этих теорем.
• Свойства площадей треугольника и применение их при решении задач.
• Контрольная работа. Проверка умения решать задачи по теме.

Задачи по теме «Треугольники».

1. 1) Два населенных пункта А и В находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо расположить автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний АС+ВС была наименьшей?
   2) Доказать, что МВ+МС < АВ+АС, если точка М лежит внутри треугольника АВС.
   3) Доказать, что если АВ=АС+СВ , то точки А, В и С лежат на одной прямой.
   4) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.
   5) Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенными из вершины этого угла.
   6) Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии АМ от прямой ВС.
2. 1) Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите стороны треугольника.
   2) Медианы прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника.
   3) В треугольнике две его стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найти третью сторону.
   4) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найти основание треугольника, если медиана равна 3.
   5) Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найти биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла.
   6) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найти высоту, опущенную на гипотенузу.
   7) Дан треугольник со сторонами 13, 14, и 15. Найти высоту, проведенную к большей стороне.
   8) В треугольнике АВС известно, что АВ=8, АС=6, угол ВАС=60°. Найти биссектрису АМ.
   9) В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника.
   10) В прямоугольном треугольнике АВС проведена биссектриса CD. Известно, что АD=m , ВD=n .Найти высоту, опущенную из вершины С.
   11) На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК : КМ=1:3. Найти отношении, в котором прямая, проходящая через точку параллельно стороне АС, делит сторону ВС.
   12) Найти высоту, опущенную на гипотенузу, если основание этой высоты разбивает ее на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника.
   13) Доказать утверждение: квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, ее заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.
   14) Доказать, что если треугольник имеет две равные высоты, то он является равнобедренным.
   15) Найти высоты треугольника, если его площадь равно 20, а углы равны a, b и g.
   16) Доказать, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.
   17) Доказать, что высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника.
   18) Доказать, что ортоцентр остроугольного треугольника имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в данный треугольник.
   19) Доказать, что треугольник и треугольник, состоящий из его средних линий, имеют один и тот же центр тяжести.
   20) Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника, равна ѕ площади данного треугольника.
3. 1) Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен ее основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найти длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и в.
   2) Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
   3) Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум другим сторонам.
   4) Центр окружности, вписанной в четырехугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырехугольника равен 14, а площадь равна 12 . Найти вторую диагональ и стороны трапеции.
   5) Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18 и 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1:2 . Найти отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника.
   6) Точка N делит среднюю линию треугольника АВС, параллельную стороне ВС, на отрезки , один из которых в три раза длиннее другого. Точка М делит сторону ВС на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая МN делит площадь треугольника АВС.
   7) Вершины одного параллелограмма лежат по одной на сторонах другого. Доказать, что центры параллелограммов совпадают.
   8) На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты точки М, N и К так, что АМ : МВ=2:3, АК : КС=2:1, BN : NC=1:2. В каком отношении прямая МК делит отрезок АN .
   9) Точки М и N – середины сторон ВС и СD параллелограмма АВСD. Отрезки АМ и ВN пересекаются в точке О. Найти отношение МО : ОА.
   10) В треугольнике АВС биссектриса АD делит сторону ВС в отношении ВD : DС=2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису.
   11) В треугольнике АВС проведена медиана АМ и отрезки ВN, СК так, что АN : NС=1:5. В каком отношении делит точка К сторону АВ, если отрезки АМ, ВN и СК пересекаются в одной точке.
4. 1) В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС=в , угол А равен 30°. Найти высоты ВЕ и АD, а также АЕ, ЕС, ВС.
   2) Стороны треугольника равны 4,5 дм, 9,9 дм, 70 см. Найти углы треугольника.
   3) Вычислить биссектрису треугольника АВС, проведенную из вершины А, если ВС=18, АС=15, АВ=12 .
   4) Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
   5) В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°. Длины этих отрезков относятся как 1:3 . Найти меньшую диагональ четырехугольника, если большая равна 12
   6) В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 4 и 6 и пересекаются под углом 60°. Найти диагонали четырехугольника.
   7) Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30° и 45°. Найти отношение сторон параллелограмма.
   8) Найти расстояние от центра ромба до его стороны, если угол ромба равен 30°, а сторона равна 4 .
   9) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника.
   10) Отрезки соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны между собой. Найти площадь четырехугольника, если его диагонали равны 8 и 12 .
   11) Периметр треугольника равен Р, а углы равны a, b и g. Найти стороны треугольника.
   12) Две равные силы приложены к одной точке под углом 60° друг к другу. Найти величины сил, если их равнодействующая равна 100 кг.
   13) Смежные стороны параллелограмма равны 6 и 8, а один из углов - b. Найти диагонали параллелограмма и угол между ними.
   14) В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10, а угол при основании 70°. Найти периметр трапеции.
   15) Найти биссектрисы треугольника, если его одна из его сторон равна 4, а прилежащие углы 30° и 45°.
5. 1) Доказать формулу Герона.
   2) Найти высоту, проведенную к большей стороне треугольника, если его стороны равны 13, 14 и 15.
   3) Найти площадь треугольника, вершины которого – середины сторон треугольника площади 4.
   4) Сторона треугольника равна 36 . Прямая, параллельная этой стороне, делят площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
   5) Из середины основания треугольника площади 16 проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найти площадь полученного параллелограмма.
   6) В прямоугольном треугольнике точка D лежит на катете АС, а точка Е лежит на катете ВС так, что АD : DС=2:3, а ВЕ : ЕС=3:7. Найти отношение площадей треугольников АВD и АВЕ к площади треугольника АВС.
   7) Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол. Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся как 2:3 . Найти отношение площади треугольника к площади ромба.
   8) В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен . Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?
   9) В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, проведены биссектриса СЕ и медиана ВD, пересекающиеся в точке О. Найти площадь четырехугольника АDОЕ, зная, что ВС=2 и АС=3.
   10) Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и ее основаниям, равны 6 и 8 . Найти площадь трапеции.
6. 1) Найти радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13 и 24 и расстояния между центрами окружностей.
   2) Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 3, 6 и 6.
   3) Найти радиусы вписанной и описанной окружности около треугольника со сторонами 13, 14, и 15.
   4) Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр другой окружности, проходящей через вершины А, С и точку пересечения высот треугольника АВС. Найти АС.
   5) Около треугольника со сторонами 6, 8, и 10 описана окружность. Найти радиус окружности, касающейся меньшей стороны треугольника и данной окружности.
   6) Найти периметр треугольника, один из углов которого равен 30°, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны 3 и 5.
   7) Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
   8) Найти основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 12.
   9) Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза равна 13, а сумма катетов равна 17.
   10) Найти радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 16.
   11) Доказать, что если окружность касается стороны ВС. треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности со стороной АВ равно полупериметру треугольника АВС.

Тема 2. Четырехугольники.

• Рассмотрение основных и частных свойств четырехугольников.
• Свойства вписанных и описанных четырехугольников и применение этих свойств к решению задач.
• Свойства площадей четырехугольников и применение этих свойств.
• Контрольная работа. Проверка умения решать задач по теме.

Задачи по теме «Четырёхугольники».

1. 1) Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
   2) Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
   3) Из вершины В ромба АВСD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым АD и DС. Докажите, что луч ВD является биссектрисой угла КВМ.
   4) Доказать, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, причем площадь параллелограмма, вдвое меньше площади четырехугольника.
   5) Доказать, что середины двух противоположных сторон любого четырехугольника и середины его диагоналей либо являются вершинами параллелограмма, либо лежат на одной прямой.
   6) Доказать, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
   7) Доказать, что площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
   8) Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ 10. Найти стороны прямоугольника.
   9) В прямоугольной трапеции один из углов 135°, средняя линия равна 18, а основания относятся как 1:8. Найти меньшую боковую сторону трапеции.
   10) Доказать, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.
2. 1) Доказать, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
   2) Доказать, что если что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
   3) Доказать, что если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
   4) Доказать, что если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
   5) Доказать, что если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
   6) Около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Известно, что АВ=3, ВС=4, СD=5, АD=2. Найти АС.
   7) Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 2р. Найти проекцию диагонали трапеции на большее основание.
   8) Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 21, а высота равна 8. Найти радиус окружности, описанной около трапеции.
3. 1) Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 10, а больший угол равен 135°.
   2 .Два квадрата со сторонами 10 имеют общую вершину, причем сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найти площадь общей части квадратов.
   3) Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ ВD в точке О. Найти площадь четырехугольника ОМСD.
   4) Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на треугольники с площадями а, в, с и d. Доказать, что ас=вd.
   5) Четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Площади трех из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвертого треугольника. Найти площадь данного четырехугольника.
   6) Выпуклый четырехугольник имеет площадь равную 18. Найти площадь четырехугольника с вершинами в серединах данного.
   7) На сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 треугольника с вершинами в центрах квадрата.
   8) Найти площадь параллелограмма, если его наибольшая диагональ равна 13, а наименьшие значения высоты и угла равны 5 и 45°.
   9) В трапеции одно из оснований на 8 больше другого, а боковые стороны равны 6 и 10. Найти площадь трапеции.
   10) Периметр прямоугольника равен 17. Две его вершины расположены на гипотенузе прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Катеты равны 9 и 12. Найти площадь прямоугольника.
   11) Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой большее основание равно 11, средняя линия 8, а биссектриса острого угла является диагональю трапеции.

Используемая литература:

1. Л. С. Атанасян «Геометрия 7-9» (учебник, задачи повышенной трудности) Издательство «Просвещение», 2008 г.
2. Л. С. Атанасян « Дополнительные главы» Издательство «Просвещение», 2002 г.Москва
3. А. Я. Цукарь «Задачи по геометрии с элементами исследования» Издательство «Просвещение», 1999 г.
4. П. В. Семёнов «Текстовые и геометрические задачи» (сборник задач) Издательство МЦНМО 2008 г.
5. В. А. Гусев, А.И. Медяник «Дидактические материалы по геометрии» Издательство «Просвещение», 2004 г.
6. А. В. Юзбашев «Свойства геометрических фигур - ключ к решению любых задач по планиметрии» Издательство «Просвещение», 2004 г.
7. А. В. Фарков «Контрольные работы, тесты, диктанты по геометрии (к учебнику Л.С. Атанасяна» Издательство «Экзамен», 2008 г.
8. Р. К. Гордин «Геометрия. Планиметрия.» Издательство «Просвещение», 2004 г.