Уравнение касательной

Разделы: Математика

Оборудование:  компьютер, проектор, экран, мультимедийная презентация, электронный тест, компьютерная программа AGrapher, информационно-диагностические  карты  обучающихся, раздаточный материал.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков.

Цели урока:

  • продолжить формирование системы математических знаний и умений по теме «Уравнение касательной», необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
  • развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной деятельности;
  • развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, критическое мышление;
  • воспитывать толерантность, коммуникативность.

Структура урока:

  1. организационный момент;
  2. сообщение темы и постановка целей урока;
  3. проверка домашнего задания;
  4. актуализация опорных знаний и  умений обучающихся;
  5. самостоятельная работа обучающихся;
  6. выполнение работы в группах, творческое применение знаний и умений;
  7. обсуждение результатов деятельности обучающихся;
  8. рефлексия деятельности;
  9. домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие, доброжелательный настрой учителя и обучающихся, полная готовность класса и оборудования урока к работе, организация внимания всех обучающихся.

2. Сообщение темы и постановка целей урока.

Учитель сообщает обучающимся тему и цели урока, знакомит со  структурой урока.
Слайд 1 (Приложение 1).   Тема  урока.
Слайд 2 (Приложение 1).   Структура урока.

3. Проверка домашнего задания.

Проверить правильность, полноту и осознанность выполнения домашнего задания всем классом, выяснить причины невыполнения задания отдельными обучающимися, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях, навыках и  умениях, осуществлять дальнейшее совершенствование последних.

Учитель  сканирует  тетрадь одного из учеников класса с решением задач базового уровня, заданных на дом и с помощью видеопроектора демонстрирует данное решение на экране. Ученик комментирует свое решение. Выполнение заданий базового уровня обязательно для всех обучающихся.

Базовый уровень.

№ 5.22 (б) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = sin x в точке с абсциссой x0 = π/2.
№5.27(б)  Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = log2x в точке с абсциссой x0 = 2.

Обучающиеся проверяют правильность выполнения домашнего задания.

Задачу  практического содержания повышенного уровня сложности обучающиеся решали по выбору. Один из учеников представляет свое решение в форме мультимедийного  проекта.

Задача  практического содержания.

Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200м (рис.1). Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 150. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат.


Рисунок 1.

Учитель акцентирует внимание обучающихся на уравнении касательной к графику функции.

Слайд 3 (Приложение 1).

Пусть функция у = f(х) (рис. 2) непрерывна на интервале (a;b) и имеет в точке x0  Є (a;b) производную. Тогда график этой функции имеет в точке (x0; f(x0)) касательную, уравнение которой  y – y0 = k(х - x0), где y0 = f(x0), k= f `(х0). Уравнение касательной записывают  в виде  у = f `(х0)(х - х0) + f(х0)


Рисунок 2.

4. Актуализация опорных знаний и умений обучающихся.

Актуализировать те знания и умения, которые необходимы обучающимся для дальнейшей работы. Активизировать мыслительную деятельность обучающихся.

Устная фронтальная работа.

Слайд 4 (Приложение 1).

Найдите угловой коэффициент касательной к кривой   в точке с абсциссой х0= -2.
Ответ: 9.


Формулируется геометрический смысл производной.
Слайд 6 (Приложение 1).

Укажите значение коэффициента k, при котором графики линейных функций
y = 8х + 12 и y = kх – 3 параллельны.
Ответ: 8.


Формулируется условие параллельности прямых.
Слайд 8 (Приложение 1).


Функция у = f(х) определена на промежутке (-4; 5) (рис. 3). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые параллельны оси абсцисс.


Рисунок 3.

Ответ: 1.

Слайд 10 (Приложение 1).
На рисунке 4 изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке (х0; f(х0)). Найдите значение производной в точке х0.


Рисунок 4.

Ответ: 1,5.

5. Самостоятельная работа обучающихся.

Контроль за уровнем усвоения первичных умений и применения их в стандартных ситуациях  обучающимися, испытывающими затруднения при изучении данной темы, осуществляется с помощью компьютерного тестирования. Ученик записывает полученные результаты в предоставленный ему бланк ответов. Проверка работы осуществляется компьютерной программой My Test. В случае ошибки компьютер выдает ученику  “неверно” и показывает правильный ответ. Обучающийся записывает в бланке верный ответ, отмечает его знаком «+», в случае неверного ответа выписывает верный для того, чтобы выполнить дома работу над ошибками. Обучающийся получает на дом тест в печатном варианте.

Компьютерная программа  My Test определяет уровень усвоения знаний обучающимся по количеству верно решенных задач и выставляет отметку.

Вопросы компьютерного тестирования.

Самостоятельная работа  с последующей проверкой  по применению знаний и умений в измененных условиях.

Ученики выполняют задание в тетрадях, один у доски.
№1. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x) = 9 – x2 в точках его пересечения с осью абсцисс.

Проверка правильности выполнения задания сопровождается построением графика функции и найденных к нему касательных с помощью компьютерной программы AGrapher.

6. Выполнение работы в группах, творческое применение знаний и умений.

Закрепление изученного материала на основе творческого его применения на практике, в нестандартных  ситуациях.

Создается четыре группы, в каждую из которых входит четверо обучающихся с разным уровнем математической подготовки (дифференциация внутри  группы).  Представители каждой группы из четырех конвертов с заданиями  вынимают один конверт. Группы приступают к работе. Решение задач обучающиеся записывают в тетрадях.

Задание 1.

  1. В чем заключается геометрический смысл производной?
  2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х0 Є (a; b) ее график имел касательную?
  3.  Каково уравнение касательной?
  4. Составить уравнение касательной к графику функции y = 1/х2, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 9/8.

Обучающимся предлагается решение, отдельные элементы которого  пропущены. Необходимо заполнить пропуски.

Задание 2.

  1. В чем заключается геометрический смысл производной?
  2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х0 Є (a; b) ее график имел касательную?
  3.  Каково уравнение касательной?
  4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x3/3 , параллельной прямой y = 4х – 7.

Задание 3.

  1. В чем заключается геометрический смысл производной?
  2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х0 Є (a; b) ее график имел касательную?
  3.  Каково уравнение касательной?
  4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции у = f(х) в точке  А(-7;14). Найдите  . (КИМ по подготовке к ЕГЭ.)

Задание 4.

  1. В чем заключается геометрический смысл производной?
  2. Какими свойствами должна обладать функция у = f(x), заданная на интервале (a; b), чтобы в точке с абсциссой х0 Є (a; b) ее график имел касательную?
  3.  Каково уравнение касательной?
  4. Найдите абсциссы всех точек графика функции , касательные в которых параллельны прямой у = 65х  или совпадают с ней. (КИМ по подготовке к ЕГЭ.)

7. Обсуждение результатов деятельности обучающихся.

Представители каждой группы из четырех карточек, на которых указана форма отчета, вынимают одну карточку. Группы отчитываются  о проделанной работе. Записывают решение соответствующих заданий на доске.

Формы отчета:

  • «Доверие» - отметки за работу в группе выставляет капитан. Учитель тетради берет на проверку. При несовпадении отметок капитана и учителя идет снижение отметок на 1 балл;
  • «Все» - отвечают все обучающиеся;
  • «Делегат» - группа сама решает, кто из учеников будет отвечать;
  • «Выбор» -  учитель выбирает ученика, который будет отвечать.

Решение задания №2 сопровождается графической иллюстрацией, выполненной с помощью компьютерной программы AGrapher.

8. Рефлексия деятельности.

Подведение итогов урока: как работал класс, кто из обучающихся работал особенно старательно, что нового узнали на уроке.

9. Домашнее задание.

Домашнее задание задается в  тестовой форме. Срок его выполнения - одна неделя. Аналогичные задания задаются обучающимся один раз в месяц. Тест составлен на основе демонстрационного варианта ЕГЭ по математике. Он содержит 12 заданий части «В» и задание С1. В тест включены задания по теме «Уравнение касательной».