Решение составных задач
Для того, чтобы мыслительный процесс был результативным, очень важно, чтобы обеспечивалось единство процессов анализа и синтеза. Анализ структуры задачи значительно облегчается. Если учитель вначале составляет (синтезирует) вместе с учащимися задачу нового вида с тем, чтобы затем искать способы ее решения. Составление задачи. Которая затем решается, облегчает последующий анализ (решение новых задач).
В обучении решению задач важно не только (даже не столько) получение частных результатов, понимание отдельных способов решения тех или иных задач, сколько понимание логических переходов, связей между задачами и способами их решения, овладение способом решения не отдельных задач, а семейства задач, родственных в том или ином отношении.
В основу классификации задач по Эрдниеву положен учет разнообразных взаимно обратных задач. Этот подход оказывается результативным не только в случае решения задач простых, но и задач составных. Как типовых. Так и нетиповых.
Обычные арифметические задачи в 3 действия.
Пусть даны цены 2х сортов ткани (20 р. и 10 р.), количество их (6 м и 4 м),
стоимость их (20 • 6 = 120 (р.), 10 • 4 = 40 (р.)).
4.1.1. Составим первую прямую задачу.
- Куплено 6 м сукна по 20 р. и 4 м сатина по 10 р. Сколько стоит вся покупка?
Краткая запись: 20 р. 6 м 10 р. 4 м ? р. (таблица Т – 1)
Решение: 20 • 6 = 120 (р.) – стоимость сукна
10 • 4 = 40 (р.) – стоимость сатина
120 + 40 = 160 (р.) – стоимость всей покупки
Выражение: 20 • 6 + 10 • 4 = 160 (р.)
Вид задачи: задача на нахождение суммы двух произведений.
Формула: _ • _ + _ • _
Обратные задачи (на нахождение количества и цены)
- Куплено 6 м сукна по 20 р. и несколько метров сатина по 10 р., всего на сумму 160 р. сколько метров сатина куплено?
20 • 6 = 120 (р.) – стоимость сукна
160 – 120 = 40 (р.) – стоимость сатина
40 : 10 = 4 (м) – куплено сатина (деление по содержанию)
- Куплено 4 м сатина по 10 рублей и 6 м сукна, всего на сумму 160 рублей. Сколько стоит 1 метр сукна?
10 • 4 = 40 (р.) – стоимость сатина
160 – 40 = 120 (р.) – стоимость сукна
120 : 6 = 20 (р.) – цена сукна (деление на равные части)
- Куплено 6 м сукна по 20 р. и 4 м сатина, всего на сумму 160 рублей. Сколько стоит 1 метр сатина?
20 • 6 = 120 (р.) – стоимость сукна
160 – 120 = 40 (р.) – стоимость сатина
40 : 4 = 10 (р.) – цена сатина
Обязательно сравниваются условия, решения, ответы.
4.1.2. Вторая прямая задача – на нахождение разности двух произведений.
Формула: _ • _ – _ • _ (таблица Т– 2)
Куплено 6 м сукна по 20 рублей и 4 м сатина по 10 р. На сколько рублей больше уплатили за сукно?
Краткая запись: 20 р. 6 м 10 р. 4 м на ? р. больше
Решение: 20 • 6 = 120 (р.) – стоимость сукна
10 • 4 = 40 (р.) – стоимость сатина
120 – 40 = 80 (р.) – сукно > сатин
Обратные задачи:
| ? р. | 6 м | 10 р. | 4 м | 80 р. |
| 20 р. | ? м | 10 р. | 4 м | 80 р. |
| 20 р. | 6 м | ? р. | 4 м | 80 р. |
| 20 р. | 6 м | 10 р. | ? м | 80 р. |
Третья прямая задача – на нахождение частного двух произведений.
Формула: (_ • _) : (_ • _) (таблица Т– 3)
Куплено 6 м сукна по 20 рублей и 4 м сатина по 10 р. Во сколько раз больше уплатили за сукно?
Краткая запись: 20 р. 6 м 10 р. 4 м в ? раз
Решение:
20 • 6 = 120 (р.) – стоимость сукна
10 • 4 = 40 (р.) – стоимость сатина
120 : 40 = 3 (раза) – сукно > сатин
Обратные задачи:
| ? р. | 6 м | 10 р. | 4 м | 3 раза |
| 20 р. | ? м | 10 р. | 4 м | 3 раза |
| 20 р. | 6 м | ? р. | 4 м | 3 раза |
| 20 р. | 6 м | 10 р. | ? м | 3 раза |
Аналогично поступаем с двумя частными.
Тогда соответственно формулы других трех задач (прямых) будут следующие:
– Прямая задача на нахождение суммы двух частных.
Формула: _ : _ + _ : _ (таблица Т– 4)
Турист проплыл теплоходом 60 км, двигаясь со скоростью 30 км в час, затем прошел пешком 24 км со скоростью 4 км в час. Сколько часов турист был в пути?
Решение: 60 : 30 = 2 (ч) – время движения на теплоходе
24 : 4 = 6 (ч) – время движения пешком
2 + 6 = 8 (ч) – время на весь путь
Обратные задачи:
| ? км | 30 км/ч | 24 км/ч | 4 км/ч | 8 ч |
| 60 км | ? км/ч | 24 км/ч | 4 км/ч | 8 ч |
| 60 км | 30 км/ч | ? км/ч | 4 км/ч | 8 ч |
| 60 км | 30 км/ч | 24 км/ч | ? км/ч | 8 ч |
Прямая задача – на нахождение разности двух частных
Турист проплыл теплоходом 60 км со скоростью 30 км в час, а пешком прошел 24 км со скоростью 4 км в час. На сколько часов он шел пешком дольше, чем плыл на теплоходе?
Формула: _ : _ – _ : _ (таблица Т– 5)
Обратные задачи:
| ? км | 30 км/ч | 24 км/ч | 4 км/ч | 4 ч |
| 60 км | ? км/ч | 24 км/ч | 4 км/ч | 4 ч |
| 60 км | 30 км/ч | ? км/ч | 4 км/ч | 4 ч |
| 60 км | 30 км/ч | 24 км/ч | ? км/ч | 4 ч |
Прямая задача – на нахождение частного двух частных.
Турист проплыл теплоходом 60 км со скоростью 30 км в час, а пешком прошел 24 км со скоростью 4 км в час. Во сколько раз больше времени турист шел пешком, чем плыл на параходе?
Формула: (_ : _) : (_ : _) (таблица Т– 6)
| ? км | 30 км/ч | 24 км/ч | 4 км/ч | 3 раза |
| 60 км | ? км/ч | 24 км/ч | 4 км/ч | 3 раза |
| 60 км | 30 км/ч | ? км/ч | 4 км/ч | 3 раза |
| 60 км | 30 км/ч | 24 км/ч | ? км/ч | 3 раза |
Эти 28 видов задач образуют основную группу нетиповых задач в 3 действия, объединенных логической общностью: они составляют значительную часть традиционного задачного материала 2 – 4 классов.
Так как многих из этих разновидностей нет в учебниках. То только составляя и решая обратные задачи, можно перебрать необходимое разнообразие задач, то есть упрочить необходимое богатство ходов мысли, ассоциаций.
Можно предлагать детям следующие задания:
- составить задачу на разность двух произведений и одну обратную ей, решить эти задачи,
- решить из учебника задачу №… с помощью формулы. Определить название вида задачи,
- составить задачу, решаемую выражением: 900 : 3 + 600 : 25.
- Как можно назвать получившееся число?
- Каково название этого вида? И т.д.
- Поставьте к условию три разных вопроса и реши все задачи.
Обычные арифметические задачи в 2действия.
Эти задачи можно получить на основе упрощения (ограничения) рассмотренных задач в 3 действия.
4.2.1. Купили сукна на 120 р. и 4 м сатина по 10 р. Сколько стоит вся покупка?
Краткая запись: 120 р. 4 м 10 р. ? р.
Формулы: _ + _ • _ , _ • _ + _ (таблица Т– 1.1.)
Решение: 120 + 10 • 4 = 160 (р.)
Обратные:
| ? р. | 4 м | 10 р. | 160 р. |
| 120 р. | ? м | 10 р. | 160 р. |
| 120 р. | 4 м | ? р. | 160 р. |
4.2.2. Куплено сукна на 120 рублей и 4 м сатина по 10 р. На сколько рублей больше уплатили за сукно?
Формулы: _ – _ • _ , _ • _ – _ (таблица Т– 2.1.)
Решение: 120 – 10 • 4 = 80 (р.)
Обратные:
| ? р. | 4 м | 10 р. | 80 р. |
| 120 р. | ? м | 10 р. | 80 р. |
| 120 р. | 4 м | ? р. | 80 р. |
4.2.3. Куплено 6 м сукна по 20 рублей и на 40 рублей сатина. Во сколько раз больше уплатили за сукно?
Формулы: _ : (_ • _) , (_ • _) : _ (таблица Т– 3.1.)
Решение: (20 • 6) : 40 = 3 (раза)
Обратные:
| ? р. | 6 м | 40 р. | 3 раза |
| 20 р. | ? м | 40 р. | 3 раза |
| 20 р. | 6 м | ? р. | 3 раза |
4.2.4. Куплено 6 м сукна и на 40 рублей сатина по 10 рублей за метр. Сколько всего метров ткани купили?
Формулы: _ + _ : _, _ : _ + _ (таблица Т– 4.1.)
Решение: 6 + 40 : 10 = 10 (м)
Обратные:
| ? м | 40 р. | 10 р. | 10 м |
| 6 м | ? р. | 10 р. | 10 м |
| 6 м | 40 р. | ? р. | 10 м |
4.2.5. Куплено 6 м сукна и на 40 рублей сатина по 10 рублей за метр. На сколько метров больше купили сукна?
Формулы: _ : _ – _, _ – _ : _ (таблица Т– 5.1.)
Решение: 6 – 40 : 10 = 2 (м)
Обратные:
| ? м | 40 р. | 10 р. | 2 м |
| 6 м | ? р. | 10 р. | 2 м |
| 6 м | 40 р. | ? р. | 2 м |
4.2.6. Куплено 8 м сукна и на 40 рублей сатина по 10 р. за метр. Во сколько раз больше купили сукна?
Формулы: (_ : _) : _, _ : (_ : _) (таблица Т– 6.1.)
Решение: 8 : (40 : 10) = 2 (раза)
Обратные:
| ? м | 40 р. | 10 р. | 2 раза |
| 8 м | ? р. | 10 р. | 2 раза |
| 8 м | 40 р. | ? р. | 2 раза |
Получается 36 видов задач в 2 действия – это значительная часть нетиповых задач, изучаемых во 2–4 классах. Не следует забывать работу по сравнению задач.
Обычные арифметические задачи в 4–5 действий.
Задачи в 3 действия можно усложнить преобразовав ее в задачу в 4 действия. Например, задачу на нахождение разности двух частных.
Турист прошел пешком 24 км со скоростью 4 км в час, а теплоходом проплыл в 5 раз большее расстояние со скоростью 30 км в час. На сколько часов дольше турист шел пешком?
Краткая запись: 24 км 5 раз 30 км/ч 4 км/ч на ? ч
Решение: 24 • 5 = 120 (км) – расстояние на теплоходе
120 : 30 = 4 (ч) – время на теплоходе
24 : 4 = 6 (ч) – время пешком
6 – 4 = 2 (ч) – разница во времени
Обратная: Турист теплоходом плыл на 2 ч меньше времени, чем шел пешком. Всего пешком прошел 24 км. Скорость движения на теплоходе 30 км/ч, пешком – 4 км/ч. Во сколько раз большее расстояние турист проехал на теплоходе, чем прошел пешком?
Краткая запись:
| 24 км | ? раз | 30 км/ч | 4 км/ч | 2 ч |
| ? км | 5 раз | 30 км/ч | 4 км/ч | 2 ч |
| 24 км | 5 раз | ? км/ч | 4 км/ч | 2 ч |
| 24 км | 5 раз | 30 км/ч | ? м | 2 ч |