Цели: сообщить историю появления процентов, привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящие время; устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по ее проценту, нахождение процента одной величины от другой.
Метод обучения: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.
Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
План:
- Лекция.
- Устные упражнения
- Повторение и закрепление изученного ранее.
- Систематизация знаний.
- Решение основных задач на проценты
- Итоги урока.
- Домашние задание.
Ход урока
Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции составляет 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира и т. д.
Слово “процент” происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает “за сотню” или “со ста”. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расче1ты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражение частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные ими таблицы, которые позволили быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить более сложные вычисления с применением процентов.
Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат должен был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычисления процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе – особой записи десятичных дробей.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (применяемого за единицу).
Знак “%” происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” (от латинского pro mille – “с тысячи”), обозначаемые, по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему развитию.
Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктов питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она “применяется за 100 процентов”.
Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и применяется за 100%. Например, 1% от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это сто сотых частей зарплаты, т.е. вся зарплата. Подоходный налог от зарплаты берется в размере 13%, т.е. 13 сотых от зарплаты. Надпись “60%” хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т.е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня.
Если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятии соответствующих мер.
Вы послушали историческую справку о процентах, а сейчас вспомним 5–6-й класс и устно сделаем некоторые примеры и задачи.
1. Представьте данные десятичные дроби в процентах:
0,5
0,24
0,867
0,032
15
0,01
154
20,5
10
2. Представьте проценты десятичными дробями:
2%
12,5%
2,67%
0,06%
1000%
510%
0,5%
0,1%
а сейчас вспомним основные процентные отношения и запишем в тетрадях:
100% = 1
50% = ½
25% = 1/4
12,5% = 1/8
200% = 2
10% = 1/10
5% = 1/20
1% = 1/100
Различные обозначения:
| 18% | 0,18 | 18/100 |
| Р% | 0,01р | р/100 |
Вспомним основные действия с процентами:
1. Нахождение процентов данного числа.
Как же мы находили процент данного числа? (Отвечают ученики.)
Значит, чтобы найти а% от в, надо в*0,01а.
Пример. а) 30% от 60 составляет 60*0,3=18
б) сегодня в классе отсутствуют 10% учащихся. Сколько учеников отсутствуют (в классе 20 учащихся) 20*0,1= 2(уч.)
2. Нахождение числа по его процентам.
Как находим число по его проценту?
Если известно, что а% числа х равно в, то х=в:0,01а.
Пример. а) 3% числа х составляют 150.
Х=150:0,03=5000.
б) на олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?
416:032=1300.
3. Нахождение процентного отношения чисел.
Как найти процентное отношение двух чисел?
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%.
Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600?
150:600*100%=25%.
А сейчас рассмотрим основные типы задач на проценты.
Одна величина больше (меньше) другой на р%.
а) если а больше в на р%, то а = в + 0,01рв = в(1 +
0,01р).
б) если а меньше в на р%, то а = в – 0,01рв = в(1 –
0,01р).
Пример. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?
Решение: 120 = 90 + 90*0,01р
120 = 90(1 + 0,01р)
1 + 0,01р = 120/90
р = 100/3
Аналогично,
а) если а возросло на р%, то новое значение равно а(1 + 0,01р).
Пример. Увеличить число 60 на 20%.
60 + 60*0,2 = 72 или 60(1 + 0,2) = 72
б) если а уменьшили на р%, то новое значение равно а(1 – 0,01р).
Пример. Число 72 уменьшили на 20%
72 – 72*0,2 = 57,6 или 72(1 – 0,2) = 57,6
объединив а) и б), запишем в общем виде: увеличили число а на р%, а затем полученное уменьшили на р%.
а(1 + 0,01р) – увеличение на р%
а(1 + 0,01р)а(1 – 0,01р)= а(1 – (0,01р)2) (*)
А сейчас рассмотрим задачи, сначала сделаем по действиям, а потом применяя формулу (*).
Задача 1. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменится цена товара?
Решение: Пусть первоначальная цена товара а, тогда:
а-0,3а=0,7а – цена товара после снижения,
0,7а + 0,7а*0,3 = 0,91а – новая цена.
1 – 0,91 = 0,09 или 9%.
Используя формулу (*), получим: а(1 – (р/100)2) = а(1 – 0,32) = 0,91а, т.е цена снизилась на 9%.
Задача 2. цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменится цена товара?
Решение: а(1 – (20/100)2) = 0,96а, т.е. цена снизилась на 4%.
Задачи на самостоятельное решение:
А) Найти
1) 200% от 200л
2) 0,3% от 0,3кг
3) 0,1% от 0,1%
Б) сколько будет, если:
1) 100р увеличить на 300%
2) 40% уменьшить на 40%
В) сколько было, если:
1) после увеличения на 10% стало 100 р.
2) после уменьшения на 10% стало 500 р.
Г) Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 1000 р.?
Д) в магазине цены были сначала повышены на 10% , а потом снижены на 10%. Как изменились цены?
Е) каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?
Творческое задание.
Решить задачу в общем виде.
Увеличили число а на р%. На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить а?
Решение:
а(1 + р/100) – а(1 + р/100)*(х/100) = а,
а(1 + р/100)(1 – х/100) = а,
1 – х/100 = 100/(100 + р)
х = 100р/(100 + р) (**)
Подведем итоги урока, что вы сегодня узнали (отвечают ученики).
Домашние задание: 1. Найти еще исторические справки о процентах.
2. Задачи:
А) Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?
Б) После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000 р. Какова была величина чистого дохода предпринимателя?
В) по расчетам предпринимателя предприятие принесет 15% прибыли. Какую прибыль можно получить, затратив 200000 р.?
Г) произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найти эти числа.
Литература:
- Сборник элективных курсов. Математика 8–9 классы. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова.
- Изучаем математику. Н.Л. Селиванова, Э.Б. Малкин.
- Математическая шкатулка. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин