Математические задачи от русских, советских и зарубежных писателей

Найдем площадь участка: Х² = 15²-8²; х 13 вёрст. S= (2+10)·13=78 кв. вёрст

1верста = 1,0668 км. 78 кв. верст 78 кв.км. 78 кв. км = 7800га.

Слайд 6: А.П. Чехов “Каникулярные работы институтки Наденьки Н.”

“Три купца внесли для одного торгового предприятия капитал, на который через год было получено 8000 рублей прибыли. Спрашивается: сколько получил каждый из них, если первый внес 35000 рублей, второй 50000 рублей и третий 70000 рублей?”.

Ответ: 1750 руб., 2500 руб. и 3750 руб.

“Репетитор”:

“Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб.?”.

(1 аршин 71 см). Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршин синего.

Слайд 7: А.С. Пушкин “Скупой рыцарь”.

Даже полчища Атиллы не могли бы воздвигнуть холм выше 4,5м. Глаз наблюдателя, поместившегося на вершине холма, возвышался бы над почвой на 4,5 + 1,5, т.е. на 6 м, и, следовательно, дальность горизонта равна была бы =8,8(км)

Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле.

Слайд 8: И. С. Тургенев “Муму”

С давних пор использовались мелкие единицы длины. 1 аршин = 4 четвертям = 16 вершкам.

1 аршин = 71,12см. 1 четверть = 17,78см. 1 вершок = 4,5см. 1 сажень = 216см

“…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения”.

Решение: Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными вычислим рост Герасима: 12* 4,5 см = 54 см. Рост младенца в среднем составляет 51-53 см. Какой же Герасим тогда богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:

1) 2*72см = 144см (2 аршина)

2)144 +54= 198см (2 аршина и 12 вершков).

Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади? S= а*в, а = 1аршин=72см, в=1 сажень =216см. S= 0,72 *2,16 =1,5552 м². Ответ: островок небольшой.

Слайд 10: “Задача с путешественниками” (Лев Кассиль “Кондуит и Швамбрания”)

“Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?”

Решение

Пусть n число дней длилось путешествие, х верст в день проезжает первый путешественник, у верст в день проезжает второй путешественник, по условию (х > у) задачи имеем систему:

35 дней длилось путешествие, значит, 35х =700, х = 20.

20 верст проезжал первый путешественник и 15 верст проезжал второй путешественник.

Ответ: 20 верст = 21,34 км; 15 верст = 16,005 км.

Слайд 11: Л. Гераскина “В стране невыученных уроков”

“Пять землекопов выкопали траншею в сто погонных метров за четыре дня.

Сколько погонных метров выкопал каждый землекоп в течение двух дней при условии, что все землекопы выполнили одинаковый объем работ?”

Ответ: 10 м выкопал каждый землекоп в течение двух дней.

Слайд 13: Задача от Григория Остера. “Зарядка для хвоста”

История о том, как главные герои измеряли рост удава. Оказывается, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка. А так ли это на самом деле? На самом деле, средний рост попугая = 22см, мартышки = 77см, слона = 335см, удава = 10м.

Выполнив несложные вычисления, получим, что в жизни длина 1 удава = 45 попугаям (1000: 22=45) = 13 мартышкам (1000: 77= 13) = 3 слонам (1000: 335 = 3).

Слайд 13: А. Аверченко “Экзаменационная задача”

“Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой – пять. Спрашивается, на сколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же расстояние в верстах, – сколько получится, если два виноторговца продали третьему такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли сто двадцать рублей, второму восемьдесят, а всего бочка вина приносит прибыли сорок рублей”.

Решение: (120 + 80): 40 = 5 (бочек). Расстояние от пункта А до пункта Б равно 5 верстам.
Первый крестьянин пройдет это расстояние за 5: 4 = 1,25 (часа), а второй – за 4: 4 = 1 (час), т.е. затратит на этот путь на 0,25 часа меньше, чем первый. Поскольку второй крестьянин вышел на четверть часа позже второго, то они придут в пункт Б одновременно.

Слайд 14: Г. Белых, Л. Пантелеев “Республика ШКИД”

“Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, знаменатель равен 9/2, третий член в 3/2 раза больше знаменателя. Найти четвертый член прогрессии”

Чтобы привести ее к разрешимому виду, придется сделать два уточнения.

Во-первых, будем считать, что одно из трех данных чисел задано неверно.

Второе уточнение почуднее: третий член прогрессии в точности равен сумме в рублях, которую автор заплатил недавно на рынке за картошку.

Решение: (b_n) – геометрическая прогрессия. S₃ = 28, q = 9/2, b₃ = 3/2· q, b₄ = ?

Из формулы b _n+1 = b_n · q выразим: b₄ = b₃ · q = 3/2q · q = 3/2 · 81/4 = 243/8 = 30,375

Слайд 15: Илья Ильф и Евгений Петров “Двенадцать стульев”

“Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей”.

Напрашивается вопрос: сколько трех– и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? А для единственности решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Найдите решение.

Решение:

а) Пусть x – взято трехрублевок, а y– взято пятирублевок. Тогда составим уравнение: 3x+5y=50. Найдем пары решений: (5 и 7), (10 и 4), (15 и 1).

б) Пусть а – осталось трехрублевок, и b – осталось пятирублевок. Составим уравнение: 3а+5b=20. Найдем пары решений: (5 и 1), (0 и 4). Путем анализа результатов получаем: 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор.

Слайд 16: Илья Ильф и Евгений Петров “Золотой теленок”

“Было по равному количеству служащих. На станции Дроздово было комсомольцев в 6 раз меньше, чем на двух других, вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней беспартийных было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова там была партийная и комсомольская прослойка?”

Слайд 17: М. Е. Салтыков-Щедрин “Господа Головлевы”. Задача № 1.

Сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: “Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц”.

Простые проценты начисляются только на начальный вклад. S=P (1+n* (r/100))

Дано: 3000 руб. – 100%, Х руб. – 5%.

Х = 3000:100*5 = 150 (руб). S=3000+150*12 = 4800 (руб)

Сложные проценты начисляется на наращенный капитал. S=P (1+r/100)n

Дано: Р =3000 рублей, r = 5% в месяц, n = 12 мес.

S=3000 (1+5/100)12 =3000 (21/20)12=3000 (1,05)12=5387,57?5400 (руб)

Слайд 18: Задача № 2.

“Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб, ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 руб. ассигнациями!”.

Под какой фиксированный процент годовых надо было положить 100 рублей, подаренные Порфирию дедушкой, в банк, чтобы через N лет он увеличился в 8 раз? Решите задачу, считая, возраст Порфирия Владимировича равным 50 годам.

Слайд 19: Ф. М. Достоевский “Преступление и наказание”

Алёна Ивановна, старуха – процентщица предлагала Раскольникову деньги под заклад на весьма выгодных для себя условиях: “Вот-с, батюшка: коли по гривне в месяц с рубля, так за полтора рубля (в которые оценён заклад) причтётся с вас пятнадцать копеек, за месяц вперёд-с. Да за два прежних рубля (за старый заклад) с вас ещё причитается по сему же счёту вперёд двадцать копеек. А всего, стало быть, тридцать пять. Приходится же вам теперь всего получить за часы ваши рубль пятнадцать копеек”.

Слайд 20: Оноре де Бальзак “Гобсек”

Господин Дервиль взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Если бы он выплачивал сложные проценты от исходной суммы:

a₁₀ = 150 000 ? (1 + 0,01 ? 15)¹⁰ ? 606 834 франка.

Если бы расчёты велись по формуле простых процентов: а₁₀ = 150 000(1 + 0,01· 15 · 10) = 375 000 франков. Разница более 230 тысяч франков.

1. “Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?”

Ответ: девочка собрала 40, а мальчик – 80 ор.

2. “В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?”.

Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

Слайд 22: Сказки “Тысяча и одна ночь”. Мудрец задает юной деве задачу:

"Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другие расположились под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: "Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну". Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?"

Слайд 23: Ярослав Гашек “Похождения бравого солдата Швейка”

“Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше – два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара его бабушка?”.

Слайд 24: Джонатан Свифт “Путешествия Гулливера”

В стране лилипутов размеры: высота, ширина, длина, толщина всех вещей, людей, животных, растений и т.д. в 12 раз меньше, чем у нас. А в стране великанов в 12 раз больше. Лилипуты установили для Гулливера следующую норму отпуска продуктов:

“…Ему будет ежедневно выдаваться столько съестных припасов и напитков, сколько достаточно для прокормления 1724 подданных страны лилипутов”.

Из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек, ведь Гулливер только лишь в 12 раз больше лилипута?

Слайд 25: Льюис Кэрролл “Алиса в Стране чудес”. В сказке происходит очень много превращений: “…Алиса откусила еще кусочек и вскоре съела весь пирожок.

– Я теперь, раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги! В эту минуту она как раз взглянула на ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мгновение – и они скроются из виду.

– Бедные мои ножки! Кто же будет вас теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас теперь не достать”. Почему Алиса так переживала?

Слайд 26: И. А. Крылов “ЛЕБЕДЬ, ЩУКА И РАК”

Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет,
И выйдет из него не дело, только мука.
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.
Кто виноват из них, кто прав – судить не нам;
Да только воз и ныне там.

Сложение векторов движения лебедя и щуки выполним по правилу параллелограмма. Диагональ параллелограмма будет суммой двух векторов. Вектор движения рака будет направлен в противоположную сторону, значит, сумма этих векторов будет равна 0.

Поэтому воз не двинется с места.

Слайд 27: Жюль Верн “Таинственный остров”. Герои Верна измеряли высоту скалы.

Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

“– если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. “0ба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам. По окончании  измерений инженер  составил   следующую запись:

15:500 = 10:х, 500?10 = 5000, 5000:15 = 333,3.

“Значит, высота  гранитной  стены равнялась   333 футам”. 

Слайд 28: Джек Лондон “Маленькая хозяйка большого дома”

“Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикреплённый к трактору. Механики нажали рычаг, и мотор заработал. Машина сама двинулась вперёд, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.

– Чтобы окончательно усовершенствовать машину, – Грэхем, – вам остаётся превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.

– Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли. Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем заметил:

– Теряем примерно три акра из каждых десяти. Не меньше”.

Расчёт неверен: теряется меньше, чем 0,3 всей земли. Пусть, а – сторона квадрата. Площадь такого квадрата S_{квадрата} = а². Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь S_круга= . Пропадающая часть квадратного участка составляет:

S_{квадрата} – S_круга = а² – = (1 – ) а² = 0,22 а².

Слайд 29: Артур Конан-Дойль “Обряд дома Месгрейвов”. Отрывок из текста:

“Я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились обратно к тому месту, где рос (когда– то) вяз... Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были совсем уж несложны. Если палка высотой шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево (вяз)   высотой (64 фута) отбросит тень в (96 футов), и направление той и другой, разумеется, будет совпадать”.

Слайд 30: Художественная литература:

1. Аверченко А. Т. Экзаменационная задача.
2. Бальзак О. Гобсек.
3. Белых Г. и Пантелеев А. Республика Шкид.
4. Гашек Я. Похождения бравого солдата Швейка
5. Гераскина Л. В стране невыученных уроков.
6. Достоевский Ф. М. Преступление и наказание.
7. Ильф И. и Петров Е. Двенадцать стульев, Золотой теленок.
8. Жюль Верн Таинственный остров.
9. Кассиль Л. Кондуит “Швамбрания”.
10. Конан-Дойль А. Обряд дома Месгрейвов.
11. Крылов И.А. Лебедь, Щука и Рак.
12. Кэрролл Л. Алиса в Стране чудес.
13. Лондон Д. Маленькая хозяйка большого дома.
14. Некрасов Н.А. Дедушка Мазай и зайцы.
15. Носов Н. Витя Малеев в школе и дома.
16. Остер Г. Задачник.
17. Пушкин А.С. Сказки, Скупой рыцарь.
18. Салтыков-Щедрин М.Е. Господа Головлевы.
19. Свифт Д. Путешествия Гулливера.
20. Толстой Л.Н. Арифметика, Много ли человеку надо?
21. Тургенев И.С. Муму.
22. Чехов А.В. Каникулярные работы институтки Наденьки Н., Репетитор.

Слайд 31: Заключение.

Обзор литературы показал, что знания по математике нужны и писателям.

В художественных произведениях содержится много загадок, а иногда автор дает и отгадку.

Авторы, используя математические данные, предлагают читателю подумать.

Любая книга откроет свои тайны тому человеку, кто умеет сам добывать знания и отвечать на интересующие его вопросы.

Грамотное использование математических фактов делает художественное произведение достоверным и реальным.

Использованные Интернет-ресурсы:

1. БакиеваА., Саитова Р.А. “Математика в художественной литературе”.
2. Барташевич Н. “Математика в художественной литературе”.
3. Береговой Е. “Литературная математика”.
4. Карпушина Н.М. “Любимые книги глазами математика”.
5. Куликова Е., Куликова Е.В. “Математика и литература – два крыла одной культуры”.
6. Латыпова С.В. “Математические задачи в литературных произведениях”.
7. Митрофанова Н.В., Шохалова Н.П. “Мировоззрение и творчество А. С. Пушкина в свете математических законов”.
8. Мухачева А., Куприянович М.О. “Математические задачи в литературных произведениях”.