Подготовка к ЕГЭ. «Геометрические задачи с несколькими вариантами решения»

Разделы: Математика

7 класс

  1. Точки А, В и С лежат на одной прямой. АВ = 10см, ВС = 7см. Найдите АС.
  2. Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС. Угол АОС = 80°, угол АОВ = 20°. Найдите угол ВОС.
  3. На прямой взяты точки А, В и С так, что точка В расположена правее точки А и АВ : ВС = 3.Найдите АС : АВ
  4. ВН – высота треугольника АВС. Найдите длину стороны АС, если АН = 3см, СН = 5см.
  5. Периметр равнобедренного треугольника равен 16см, одна из его сторон равна 7см. Найдите другие стороны
  6. Периметр равнобедренного треугольника равен 36см, одна из его сторон на 3см больше другой. Найдите стороны треугольника.
  7. Найдите углы равнобедренного треугольника, если отношение двух из них равно 2 : 5.
  8. Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другиеа) 8см и 2см;б) 10см и 5см; в) 5см и 3см
  9. Из точки, отстоящей от прямой на 4см, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы 30 ° и 45°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

8 класс

  1. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см.
  2. Найдите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла А делит а) сторону ВС на отрезки 45,6см и 7,85см б) сторону СD на отрезки 2,7дм и 4,5дм
  3. В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне АD делят сторону ВС точками M и N так, что ВМ : МN = 3 : 5. Найдите ВС, если АВ = 12.
  4. Дан параллелограмм АВСD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону ВС на три равные части. Периметр параллелограмма равен 40. Найдите стороны параллелограмма.
  5. Две стороны прямоугольного треугольника 6см и 8см. Найдите третью сторону.
  6. Диагонали АС и ВD трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если SAED = 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.
  7. BD – высота треугольника АВС. Найдите АС, если ВС = 12см, BD = 6см, угол А = 30°
  8. NA – высота треугольника MNК. Найдите МК, если NК = 6см, NA = 3см, угол М = 30°
  9. АВСD – параллелограмм, точка М лежит на диагонали ВD и делит её в отношении 1 : 2. Найдите площадь параллелограмма, если площадь четырехугольника АВСМ равна 60
  10. На стороне ВС параллелограмма АВСD выбрана точка Е, делящая эту сторону в отношении 2 : 3.Отрезок DЕ пересекает диагональ АС в точке F. Какую часть площади параллелограмма АВСD составляет площадь треугольника АFD?
  11. АВСD – прямоугольник, АВ = 2, ВС = .Точка Е на прямой АВ выбрана так, что угол АЕD равен углу DЕС. Найдите АЕ
  12. Дан параллелограмм АВСD; АВ = 2см, ВС = 3см, угол А = 60°. Окружность с центром О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины острого угла. Найдите площадь четырехугольника АВОD
  13. Площадь треугольника АВС равна 8, MN – средняя линия. Найдите площадь треугольника CMN
  14. В параллелограмме АВСD один из углов равен 60°. Точки Е и F являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой ЕF от параллелограмма АВСD, равна S. Найдите площадь треугольника EFC
  15. В треугольника АВС АМ – медиана, АН – высота. МН : ВН = 3 : 2., площадь треугольника АМН равна 24. Найдите площадь треугольника АВС
  16. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, коэффициент подобия равен 3. Периметр треугольника АВС равен 30см. Найдите периметр другого треугольника.
  17. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, АВ = 8. Найдите А1В1, если отношение площадей этих треугольников равно 16 : 25
  18. В трапеции с основаниями АВ и CD боковые стороны равны 10 и 15, углы АВС и DАС равны. Площадь треугольника АВС равна 36. Найдите площадь трапеции.
  19. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
  20. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС – дугу, равную 43°. Найдите угол ВАС.
  21. Дана окружность и точка М. Точки Аи В лежат на окружности, причем А – ближайшая к М точка окружности, а В – наиболее удаленная от М точка окружности. Найдите радиус окружности, если МА = а, МВ = b.
  22. Радиус окружности равен 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на хорду длины
  23. Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника АВС, и стороной АС равен 40°. Найдите угол А треугольника АВС, если угол С равен 30°
  24. Около треугольника описана окружность с центром О. Найдите угол АСВ, если угол ОСВ равен 10°, угол АОС равен 40°
  25. Две окружности пересекаются в точках А и В.Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если ВС = 7, BD = 3.
  26. Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.
  27. Окружности (R1 = 2, R2 = 4) касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую – в точке С. АС = 3. Найдите ВС.
  28. Две окружности( R1 = 17, R2 = 31) имеют общую касательную. Расстояние между их центрами равно 50. Найдите длину отрезка общей касательной, заключенного между точками касания.
  29. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В, АВ = 16. Найдите расстояние между их центрами.
  30. Расстояние от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2 : 5.Общая хорда равна , радиус одной окружности в 2 раза больше радиуса другой. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
  31. Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN и касающейся окружности радиуса 4, также вписанной в угол MKN, если sin(
  32. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность (R = 25). Найдите высоту трапеции.
  33. Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный., а его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
  34. Прямая АВ отсекает от сторон прямого угла С отрезки 5 и 12. Найдите радиус окружности, касающейся прямых АС, АВ и ВС.
  35. На стороне прямого угла с вершиной А взята точка О, причем АО = 7. С центром в точке О проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности .
  36. АВСD – трапеция, ВС = 44, АD = 100 (основания), АВ = СD = 35. Окружность, касающаяся прямых АD и АС, касается стороны CD в точке К. Найдите длину СК.
  37. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, равна 20?. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 12.
  38. АВСD – параллелограмм. , АВ = 3, ВС = 5, угол А = 60°. Окружность с центром О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь АВOD
  39. Радиус окружности равен 25. Две параллельные хорды имеют длины 14 и 40. Найдите расстояние между этими хордами.

9 класс

  1. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 и 4, если известно, что диагонали лежат на осях координат.
  2. Две стороны треугольника 17см и 28см, а высота, проведенная к большей из них, равна 15см. Найдите медианы треугольника.
  3. АВСD – трапеция, АВ = 36, CD = 34, ВС = 10(верхнее основание). Cos<АВС = . Найдите BD.
  4. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.
  5. АВСD – трапеция, АВ = CD = 35, ВС = 44, AD = 100. Найдите радиус окружности, касающейся прямых АС, AD и CD.
  6. АВСD – трапеция, АВ = 36, CD = 34, ВС = 10(верхнее основание). Cos<АВС = . Найдите BD.
  7. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.
  8. АВСD – трапеция, АВ = CD = 35, ВС = 44, AD = 100. Найдите радиус окружности, касающейся прямых АС, AD и CD.
  9. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, равна 20?. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 12.
  10. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13, СЕ = 9,ED = 4 и расстояние между точками В и D равно 4
  11. В треугольника АВС АВ = 6, ВС = 4, радиус описанной окружности равен 12. Найдите АС.
  12. Дан треугольник АВС, Н – точка пересечения высот, СН = АВ. Найдите угол С.
  13. Противолежащая основанию вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 6 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и проходящей через концы основания треугольника.
  14. Дан треугольник АВС. АВ = 4, АС = 5. Найдите ВС, если а) синус угла А равен 0,8. б) синус угла В равен 0,8.
  15. Дан треугольник АВС. Угол А равен 30°, ВС = 6, АС = 6. Решите треугольник АВС.
  16. Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен . Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.
  17. В треугольнике АВС проведены высоты ВМ и СN, О – центр вписанной окружности. ВС = 24, MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС
  18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 24. Точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 5 : 8, считая от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон
  19. Через середину стороны АВ квадрата АВСD проведена прямая, пересекающая прямые CD и АD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол ?, tg? = 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата АВСD равна 4.
  20. Площадь трапеции АВСD равна 90, одно из оснований трапеции в 2 раза больше другого, диагонали пересекаются в точке О. Отрезки, соединяющие середину Р основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь OMPN
  21. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямой.
  22. Трапеция АВСD с основаниями AD и ВС вписана в окружность с центром О. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и sin(АОВ) = 0,6
  23. Радиус окружности равен 13. Точка М – середина радиуса ОК. Хорда АС перпендикулярна радиусу ОК. Найдите расстояние ВМ, если АВ – ВК = 4
  24. Две окружности, касающиеся прямой АВ в точках А и В , пересекаются в точках С и D. АВ = 8, СD = 15. Найдите медиану СЕ в треугольнике АВС.
  25. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите её радиус, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 5 : 12

Стереометрия

  1. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
  2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Литература.

  1. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С4/Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011
  2. Многовариантные задачи по планиметрии/А.Г. Корянов, А.А.Прокофьев. – Брянск, 2011
  3. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010
  4. Математика: учебное пособие/М.А. Ляшко, С.А. Ляшко, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2011
  5. Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2011
  6. ЕГЭ – 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2011
  7. Планиметрические задачи с неоднозначным ответом/ С.К. Кожухов, журнал «Математика в школе» № 5 2011