Урок проводится после изучения темы: «Решение дробных рациональных уравнений».
«Решение и исследование уравнений с параметрами» является одной из самых трудных в курсе алгебры, но она постоянно присутствует в материалах Единого государственного экзамена. Это особо подчеркивает ее актуальность. Сложность параметрических задач состоит в том, что с изменением параметров не только меняются коэффициенты, но и происходят качественные изменения уравнения или неравенства, например, меняется его степень, область допустимых значений, свойства входящих в него функций.
Цели урока:
- Ввести понятие «Уравнения с параметром»
- Разобрать методы решения линейных уравнений с параметрами.
Ход урока
1. Объяснение учителя:
Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:
- Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
- Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Уравнение вида: Ах=В
Где А, B – выражения, зависящие от параметров, а х– неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.
Решить линейное уравнение с параметрами – значит, для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.
Линейное уравнение исследуется по следующей схеме.
1) если А=0 , то имеет уравнение 0*х=В.
Тогда, если B≠0, то уравнение не имеет решений ( х є Ø), а если В=0, то уравнение имеет вид 0*х=0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х є R).
2) если A≠0, то уравнение не имеет единственное решение х=В/А.
Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1) , то сначала нужно привести его к стандартному виду (1) и только после этого проводить исследование.
Если для каких-нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров оно не имеет решений. Кроме этого, уравнение может не иметь решений и при других значениях параметров.
Пример №1
(k+1)=2k+1
Исследование:
1) Если k+4=0
k=-4
x*0=-8+1
x*0=-7
xєØ
2) Если k≠-4, х=(2k+1)/(k+4)
Ответ: Если k=-4, то xєØ, если k≠-4, х=(2k+1)/(k+4).
Пример №2
(5р+1)х +25р2+10р+1=0
(5р+1)х =-25р2-10р-1
(5р+1)х =-(5р+1)2
Исследование:
1) Если 5р+1=0
5р=-1
р=-1/5
x*0=-(-1+1)2
x*0=0
xєR
2) Если р ≠– 1/5,
х=-(5р+1)2/(5р+1)
x=-(5p+1)
x=-5p-1
Ответ: Если р=-1/5, то х є R, если р ≠ -1/5, то х=-5р-1.
Пример№3
ах-а =х-1,
ах-а-х+1=0,
х(а-1)=а-1.
Исследование:
1) Если а-1=0
а=1
х*0=1-1
х*0=0
хєR
2) Если a≠1
х=(а-1)/(а-1)
х=1
Ответ: Если а=1,то х є R, если a≠1,то х=1
2. Работа с классом:
Устно: Выполнить № 640.
Письменно: № 641(а), 642.
3. Домашенее задание:
- п.27 (пример № 1; 2 читать)
- № 641(б), 643.