"Комбинаторика – это …" (урок конструирования комбинаторных задач)

Предмет: Алгебра

Класс: 8

Тема урока: «Комбинаторика – это...» (урок конструирования комбинаторных задач)

Тип урока: Урок получения новых знаний

Главная дидактическая цель урока: Определение комбинаторики как особого раздела математики и выработка умения применять интуитивно понятные логические рассуждения при решении и конструировании комбинаторных задач.

Цели урока:

1) Обучающие:

• повторить понятие «факториал числа»;
• сформировать у учащихся умение находить решение комбинаторных задач путём рассуждений;
• научить конструировать задачи, подобные уже решённым;
• продемонстровать учащимся некоторые теоретические сведения из раздела «Комбинаторика», пока только на ознакомительном уровне.

2) Воспитывающие: способствовать формированию у учащихся навыков исследовательской работы и творческого отношения к практической деятельности.

3) Развивающие:

• содействовать развитию у учащихся логического мышления, умения анализировать, выделять главное, обобщать;
• совершенствовать методологическую базу, вопросно-ответную форму работы на уроке, коммуникативную культуру учащихся.

Оборудование: доска, мультимедийное оборудование, интерактивная доска, раздаточный дидактический материал для учащихся, презентация к уроку, CD-диск «Вероятность и статистика. Практикум 5-9» ООО «Дрофа», 2002.

Ход урока

I. Организационный момент(3 мин.).

Обоснование выбранной темы и целеполагание.

Слайд презентации (приложение 1):

Учащимся предлагается разгадать ребус.

(Ответ: КОМБИНАТОРИКА).

Следующий слайд (приложение 1):

Озвучивается тема урока, ставится вопрос, ответ на который учащиеся должны дать в конце урока (Что такое комбинаторика?).

II. Историческая справка (5 мин).

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности (в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов, например; увлечение игрой в шахматы, шашки, карты также приводило к возникновению комбинаторных задач).

Комбинаторика становится наукой лишь в XVII веке. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий учёный и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики» (1666 г.).

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики: Леонард Эйлер, Яков Бернулли и другие.

Слайд презентации (приложение 1):

III. Повторение понятия «факториал числа». Устный счёт(5 мин).

Актуализация знаний учащихся: повторение, анализ, обобщение. Работа учащихся класса в следующих режимах: диалог, обсуждение, самостоятельная деятельность, работа в тетрадях и у доски.

Что такое факториал числа? (Произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа включительно, обозначается n!)

Вычислять n! для больших значений n крайне трудно, ибо с увеличением n величина n! растёт очень быстро (10! = 3 628 800).

Для удобства условились считать 0! = 1.

На экране поочерёдно появляются столбики выражений, содержащих факториалы чисел, их значения требуется найти. Первый столбик выполняется устно, второй и третий учащиеся выполняют письменно в тетрадях и на доске.

Слайд презентации (приложение 1):

I столбик: 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720.

II столбик:   

III столбик:   

IV. Решение и конструирование комбинаторных задач(25 мин).

Работа учащихся класса в следующих режимах: диалог, обсуждение, работа в парах, самостоятельная деятельность, индивидуальная работа, исследовательская деятельность.

Дидактические материалы находятся у учащихся на столах (по числу учащихся) (приложение 2).

Учащиеся по просьбе учителя выбирают номер задачи, которую они хотели бы решить. Предложенное решение сообща обсуждается, критикуется или одобряется, записывается учащимися либо в тетради, либо непосредственно в дидактических материалах (третий свободный столбец таблицы предназначен как раз для таких записей).

После решения задачи №1 целесообразно познакомить учащихся с понятием «перестановка из n элементов».

Слайд презентации (приложение 1):

После решения задачи №2 можно дать понятие «размещение из n по k элементов».

Слайд презентации (приложение 1):

И, наконец, если позволяет время, после решения задачи №6 уместно познакомить учащихся с понятием «сочетание из n элементов по k».

Слайд презентации (приложение 1):

Для наглядности обсуждение каждой задачи сопровождается демонстрацией на экране результатов соответствующего условию задачи эксперимента (CD-диск «Вероятность и статистика. Практикум 5-9» ООО «Дрофа», 2002): ученик, выбравший или придумавший задачу выходит к интерактивной доске и в среде программы «Вероятность и статистика» моделирует условие задачи. Просмотр результатов эксперимента даёт учащимся возможность визуально убедиться в правильности (или ошибочности) предложенного решения.

Если та или иная задача решена, то учащимся предлагается так изменить условие задачи, т.е. сконструировать новую задачу, чтобы решение осталось таким же или подобным решению исходной задачи. Например, задачу №1 можно изменить так: будем составлять гирлянду из 6 лампочек разных цветов (Ответ: 6! = 720); в задаче №4 можно изменить вопрос: «… если синяя лампочка должна стоять последней?» (Ответ и способ рассуждения при этом не изменятся: 7∙6∙5∙4∙3∙1=2520 способов).

Если класс работает быстро и время позволяет, целесообразно предложить учащимся, работая в парах, заполнить две свободные строчки таблицы – придумать свои комбинаторные задачи, при этом можно менять только вопрос, а можно и условие задачи (т.е. всю задачу целиком). Несколько таких задач можно заслушать и решить сообща.

V. Итоги урока. Рефлексия(5 мин).

Готовы ли вы ответить на главный вопрос нашего урока: «Комбинаторика – это …?»

Выслушав ответы учащихся, учитель озвучивает определение, взятое из словаря. Скорее всего, ответы ребят будут очень близки к тому, что они увидят на экране.

Слайд презентации (приложение 1):

Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуется, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Вопросы к учащимся:

• Что нового узнали на уроке?
• Трудной ли показалась новая тема?
• Что больше понравилось: решать задачи или придумывать их?

VI. Обсуждение и комментарии к домашнему заданию (2 мин.).

Учащимся предлагается выбрать домашнее задание из двух предложенных вариантов: придумать свою комбинаторную задачу и решить её (желательно, чтобы сюжет задачи был интересным, может быть даже шуточным) или подготовить сообщение или презентацию о практическом применении комбинаторики в различных сферах деятельности человека.