Вероятность и статистика. Классическое определение вероятности

Цели урока:

•  Уметь приводить примеры случайных событий.
•  Понимать, что вероятность – числовая мера правдоподобия события, что вероятность – число, заключенное в пределах от 0 до 1.
•  Познакомить учащихся 8-го класса с основными понятиями теории вероятности.
•  Научить решать простейшие задачи с помощью формул классической вероятности.

Определение: Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно- статистические закономерности.

Например, с помощью данной теории можно посчитать вероятность того, что конкретного ученика в классе вызовут к доске на уроке. Рассмотрим основные понятия теории вероятности.

Определение: Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: “По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом “случайный”. Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах”. Например, случайным событием является солнечная погода.

В обычном понимании вероятностью называют количественную оценку возможности наступления ожидаемого события.

Определение: События, которые в данных условиях произойти не могут, называются невозможными.

Например, то, что последний день зимы придется на 30 февраля.

Определение: События, которые в данных условиях произойти обязательно, называются достоверными.

Например, окончание урока.

Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т.е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т.д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни гак четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычные люди используют слова “более вероятно” или “менее вероятно”, как говорится, по наитию, опираясь на то, что называется здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словам, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей.

Поясним данное определение на примере. Рассмотри случайный эксперимент по бросанию игральной кости. Известно, что на игральной кости имеется 6 равных пронумерованных граней. Исходом каждого бросания кости будет выпадение одного из чисел от 1 до 6. В этом эксперименте мы имеем число всевозможных исходов n, равное 6. Назначим ожидаемым исходом выпадение числа 5. Поскольку число 5 на игральной кости только одно, число благоприятных исходов m будет равно 1. Используя формулу классической вероятности, нетрудно вычислить, что вероятность выпадения числа 5 равна 1/6.

Стоит отметить, что классическое определение вероятности применяется только к случайному событию с равновероятным исходом. Например, если бы у игральной кости были неравные грани, вероятность выпадения одних чисел была бы выше вероятности выпадения других. Определение классической вероятности в этом случае было бы неприменимо.

Вероятность – это положительное число от нуля до единицы.

Вероятность невозможного события равна 0, так как количество благоприятных исходов m равна 0.

Вероятность достоверного события равна 1, так как количество благоприятных исходов m совпадает с количеством возможных исходов n.

Решить задачи:

1.  Бросают два кубика: красный и синий. Считая все комбинации цифр на красном и синем кубиках равновозможными, определить вероятность того, что цифры на красном и синем кубиках будут одинаковы. Подсчитаем общее кол-во исходов (комбинация цифр). На красном кубике может быть любая цифра от одного до шести. Для каждого из этих вариантов есть шесть вариантов цифры на синем кубике. Скажем, если на красном кубике выпала тройка, то возможны варианты (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6). (Мы записываем сначала цифру на красном кубике, а потом на синем.) Всего, таким образом, будет 6 ґ 6 = 36 комбинация (исходов). Их можно вообразить в виде таблицы (см. форзац учебника). По условию благоприятны из них те, где на обоих кубиках выпала одна и та же цифра. Их шесть и стоят они на диагонали таблицы: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6). Таким образом, доля благоприятных исходов (искомая вероятность) составляет 6 из 36, то есть 1/6.
2.  Какова вероятность выпадения натурального числа при бросании игральной кости?
3.  Какова вероятность выпадения числа 9 при бросании игральной кости?
4.  Какова вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты?
5.  В лотерее 55 билетов, 7 из которых выигрышные. Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета? Какова вероятность проигрыша при покупке одного билета?

Домашнее задание

1. Определить вероятность выпадения нечетного числа при бросании игральной кости.
2. Привести примеры невозможных событий из школьной жизни.
3. На экзамене – 24 билета. Вася не выучил 5 из них. Какова вероятность того, что Вася вытащит счастливый билет?
4. Буквы в слове МИША смешали и затем выложили в случайном порядке (все перестановки равновероятны). Какова вероятность, что получится то же самое слово? Тот же вопрос для слов МАІІІА и МАМА.