Обучение одаренных детей математике. 1-й класс

В предыдущем очерке [2] рассказывалось о реализованной в ГОУ школа интернат "Интеллектуал" в 2004-2010 гг. программе углублённого интенсивного обучения математике способных детей, начиная с шестого класса (программа 6-11). Эта программа также действует и в настоящее время, по ней занимаются 5 шестиклассников и 6 семиклассников. В настоящее же время мы приступили к реализации ещё более амбициозной программы обучения математике, начиная с первого класса.

О ходе реализации этой программы мы предполагаем ежегодно информировать коллег краткими обзорными статьями*. Открываем этот сериал настоящей статьёй, описывающей достигнутые за 5 месяцев (сентябрь 2010-январь 2011) работы (при учебной нагрузке 4 часа в неделю) результаты.

---

* Параллельно, разумеется, будет создаваться соответствующий УМК. Выход малотиражного учебного пособия, отражающего в основных чертах программу для первого класса, намечен на май 2011.

Начать надо, конечно, с того, что 16 детей в возрасте от 6 лет и 8 месяцев до 8 лет на 01.09.2010 (7 девочек и 9 мальчиков) были отобраны весной 2010 года из примерно 80 кандидатур. Все поступившие довольно бегло читали и считали до 100. Отбор состоял из 8 занятий раз в неделю, включавших математику, русский и естествознание (окружающий мир). Это важное обстоятельство следует учитывать тем, кто пожелает заимствовать наш опыт. Важно, конечно, и то, что родители поступивших (все семьи - полные, многие - многодетные, все - социально благополучные) много сил вкладывали и вкладывают в их развитие, плодотворно сотрудничают со школой в деле обеспечения качественного образования своих детей.

С самого начала на уроках математики мы отказались от использования тетрадей. Вместо них использовались пластиковые доски, разлинованные с одной стороны в клеточку, фломастеры и тряпочки для стирания написанного. Ручки детей ещё не держат уверенно карандаши и авторучки, и на писание в тетрадях они тратили бы слишком много драгоценного учебного времени. Здесь же они пишут легко, крупными цифрами и рисунками, в случае ошибки легко стирают (вместо зачёркивания, которое всё-таки не уничтожает бесследно следы "неудачи") и могут, поднимая доски, показывать нарисованное на них учителю для оценки (правильные ответы оцениваются "звёздочками"). Это позволяет поддерживать высокий темп, динамику урока, работать параллельно сразу со многими (а не последовательно с одним, стоящим у доски, либо показывающим свою тетрадь, учеником) учениками.

Начали мы с изучения записи чисел в различных позиционных системах счисления. И начали, разумеется, с двоичной системы. Это даёт выигрыш по сравнению с десятичной системой, во-первых, в использовании всего двух символов вместо 10 для записи чисел, а, главное, в возможности наглядной демонстрации многозначных чисел. Так, двузначное в десятичной системе число 28, в двоичной системе представляется пятизначным числом 11100. Освоившись с записью чисел в одних и тех же системах счисления, мы перешли к перезаписи чисел из одной системы в другую.

В качестве наглядного материала использовались кубики, разлинованные листы или пластиковые доски. Так, числа у нас обозначали число мышек, при этом две мышки заменялись одним котом, два кота - собакой, две собаки - лисой и т.д.

Перезапись мы осуществляли "вручную", не вычисляя.

Так, если у нас было записано число 10011 в двоичной системе и нам нужно было записать его в троичной системе, мы заменяли волка двумя лисами, каждую лису - двумя собаками, а каждую собаку двумя кошками. Затем добавляли ещё кошку и мышку, и потом каждую кошку заменяли парой мышек. Потом мы собирали мышек по три - и заменяли каждую тройку кошкой, затем собирали по три кошки и заменяли одной собакой и т.д. Потом записывали итоговую картинку. Кошки выглядели как в линию собранные квадратики, собаки - как квадраты из квадратиков (троичная собака - квадрат 3х3). Лисы должны бы уже изображаться кубами, но это неудобно - неустойчивая конструкция, и мы их заменяли символом (неважно каким).

Вслед за этим мы начали складывать числа - опять-таки, начиная с двоичной системы, где сложение особенно просто и наглядно. Действуем как на счётах - собирается животное из соседнего старшего разряда - оставляем оставшихся, а это новое животное отправляем в соседний разряд к его родичам. То есть числа у нас представлены уже поразрядно, и мы складываем отдельно - мышек с мышками, кошек с кошками, чтобы и сумма у нас уже сразу получилась в таком же виде, записанной в той же системе счисления. Эта процедура сложения "в столбик" усваивается на "длинных" числах куда быстрее, чем на коротких, так что не имеет смысла начинать со сложения двузначных и трёхзначных чисел, а надо сразу же переходить к сложению многозначных (по 10 и более разрядов) чисел.

Точно так же была освоена и обратная операция - вычитание. При этом, если при сложении нам приходилось, скажем, собирать трёх собак в одну лису и переносить её в следующий разряд - разряд лис, то теперь нам иногда приходится "занимать", то есть осуществлять обратные превращения, например, рассыпать лису на несколько собак (три - в троичной системе, четыре - в четверичной). Мы обращаем внимание, что, во-первых, надо аккуратно записывать складываемые числа - каждую циферку в свой разряд, в свою колонку, слагаемые должны быть выровнены по правому краю. Замечаем, так же, что при сложении в столбик, как и при вычитании, мы движемся справа налево, от младших разрядов к старшим. При этом при сложении мы иногда переносим 1 в соседний разряд влево, а при вычитании, наоборот, мы идём до первого ненулевого разряда влево, берём 1 и несём её вправо, рассыпая по дороге по разрядам. Превратили тигра в 4 волков, трёх оставили, а одного взяли, превратили его в 4 лис, трёх оставили, а одну лису "превратили" в 4 собак и т.д. Итак, за два месяца мы усвоили сложение и вычитание в столбик многозначных чисел в различных системах счисления.

Вслед за этим мы стали заниматься геометрией. В нашей школе график учёбы выглядит так: осенью 5 недель учимся, шестую - отдыхаем, весной 6 недель учимся, 7-ую - отдыхаем. Итого получается 6 учебных модулей, 3 осенью и 3 весной. Так вот, мы собираемся один из этих 6 модулей каждый год, вплоть до 7 класса, когда геометрия "легально" встаёт в сетку расписания, как отдельный предмет, посвящать геометрии.

Мы начали с мотивировок для понятий "точка", "прямая", "плоскость", хотя и прямо предупредили, что определений этим понятиям, в отличие от многих последующих, мы не даём. Обнаружили, что пара прямых на плоскости могут либо пересекаться, либо не пересекаться. В последнем случае они называются параллельными. Обнаружили, что в пространстве возможен и третий вариант: скрещивание. Ввели понятия луча и отрезка, ломаной. Сразу же появились и виды углов: полный, развёрнутый, прямой, острые и тупые, а также виды ломаных: замкнутые и не замкнутые, самопересекающиеся и не самопересекающиеся. Дали определение многоугольникам. Определили среди них выпуклые и невыпуклые. Научились на примерах распознавать одни от других, фигуры являющиеся многоугольниками и не являющиеся таковыми. Познакомились с различными видами треугольников (прямоугольные, тупоугольные, остроугольные, равнобедренные и равносторонние) и установили соотношения между классами при этой классификации (так, например, часть равнобедренных треугольников может быть одновременно и прямоугольными). Дети решают задачи типа: приведите пример равнобедренного остроугольного, равнобедренного тупоугольного треугольника.

Познакомились и с различными видами четырехугольников - параллелограммами, дельтоидами, трапециями. Научились* отличать и их подвиды: ромбы, прямоугольники и квадраты. После этого мы познакомились с понятием равенства фигур на плоскости и выделили типы "допустимых" движений плоскости, которые мы используем при проверке равенства фигур. Это трансляция (перемещение всех точек в одном направлении на одно и то же расстояние), поворот и симметрия относительно оси. После этого мы потренировались на вычислении образов точек, данных на координатной сетке при отражении (в том числе и последовательном относительно двух-трёх осей) относительно разных осей (параллельных линиям сетки и параллельных биссектрисам прямых углов, ими образуемых).

---

* Здесь нам сильно помогли биологи, параллельно рассказывающие о видах и подвидах в животном и растительном мире.

Пример:

Домашнее задание по математике на вторник, 26 октября.

Выполните (на трёх отдельных рисунках) симметрии треугольника АВС:

1. xzx;

2. zyx;

3. yxz;

Затем определили центральную симметрию и выяснили, что она равносильна повороту относительно центра симметрии на развёрнутый угол. Затем выяснили, у каких фигур сколько осей симметрии (при которых они переходят сами в себя, т.е., для внешнего наблюдателя остаются в целом на месте). При этом последовательно рассматривали различные виды треугольников, параллелограммы, ромб, квадрат, прямоугольник, круг. Задавались вопросы - а может ли фигура иметь центр симметрии и не иметь ни одной оси симметрии? А может ли иметь оси симметрии и не иметь центра симметрии? Нарисовать фигуру, имеющую ровно 5 осей симметрии.

Потом перешли к выводу первоначальных фактов. Было сказано и пояснено, что имеются первичные, неопределяемые понятия и понятия, которым даются определения с помощью, в частности, неопределяемых понятий. Точно также имеются принимаемые без доказательства утверждения и называются они аксиомами, а остальные утверждения уже доказываются на основании этих аксиом и уже доказанных утверждений. И называются они теоремами. К аксиомам выдвигаются некоторые пожелания, о которых также было сказано (непротиворечивость, независимость и полнота). Совершенно неважно, что на этом этапе семилетние дети не в состоянии полноценно оценить и понять все эти высказывания, все равно это как-то отражается в их сознании и в нужный момент (который наступит гораздо позже) скажется. Начинаем доказывать, опираясь вначале на интуитивно очевидные средства, вроде перегибания листа бумаги. Здесь же мы впервые встречаемся с таким важным методом доказательства, как доказательство от противного.

Вот перечень утверждений, доказанных первоклассниками (разумеется, кем-то с подсказкой со стороны учителя, кем-то с помощью родителей):

Список имеющихся в наличии на текущий момент утверждений.

Аксиома №1. Через любые две точки проходит единственная прямая.

Аксиома №2. Через любую точку на плоскости проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.

Теорема №1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

Теорема №2. Существует только одна прямая, проходящая через данную точку, не принадлежащую данной прямой и перпендикулярная данной прямой.

Теорема №3. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема №4. Если имеются две параллельные прямые, х и у, а третья прямая z перпендикулярна одной из них, то она перпендикулярна и второй.

Теорема №5.

Первый признак равенства треугольников: по углу и двум прилегающим к нему сторонам.

Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а также равны их углы, заключённые между этими сторонами, то эти треугольники равны.

Теорема №6.

Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилегающим к ней углам.

Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, а углы, прилегающие к этой стороне равны попарно углам, прилегающим к соответствующей ей стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема №7. Вертикальные углы равны.

Теорема №8. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.

Теорема №8/1. Если внутренние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

Теорема №9. Внешний угол в треугольнике равен сумме двух несмежных с ним углов.

Теорема №10. Сумма углов треугольника равна развёрнутому углу.

Теорема №11. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема №12. Диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам.

Теорема №13. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Теорема №14. (обратная) Если в треугольнике углы равны, то и противолежащие им стороны равны.

Теорема №15.

Противоположные углы дельтоида, в которых сходятся неравные стороны, равны.

Диагональ дельтоида, соединяющая вершины, в которых сходятся равные стороны,является биссектрисой углов при этих вершинах дельтоида.

Диагонали дельтоида перпендикулярны, и вторая диагональ, соединяющая вершины, в которых сходятся неравные стороны, делится их точкой пересечения пополам.

Теорема №16.

Третий признак равенства треугольников: по трём сторонам.

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема №17. Если у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то он - параллелограмм.

Теорема №18. (Обратная теореме 12)

Если диагонали четырехугольника делятся их точкой пересечения пополам, то он - параллелограмм.

Теорема №19.

Если противоположные стороны четырехугольника равны, то он - параллелограмм.

Задачи на построение циркулем и линейкой.

1. Разделить данный отрезок пополам.
2. Провести биссектрису данного угла.
3. Опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.
4. Восстановить перпендикуляр из данной точки на данной прямой к этой прямой.
5. Провести через данную точку вне данной прямой прямую линию, параллельную этой прямой.
6. Отложить от данного луча угол, равный данному углу.

Этот список создавался и рос от занятия к занятию и учащиеся всё время должны были на уроке иметь текущую, последнюю версию перед глазами, чтобы знать, на что они могут опираться при доказательстве очередного утверждения.

Затем мы дали определения понятиям "периметр" и "площадь", вычислили периметры нескольких прямоугольных многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решётки, со сторонами параллельными координатным линиям сетки, как, например, следующий:

Далее, базируясь на площади прямоугольника с натуральными сторонами, мы дали определение действию "умножение" и продемонстрировали наглядно, с помощью квадратиков свойства коммутативности, дистрибутивности и асооциативности (здесь пригодилось то, что квадратики можно ставить друг на друга). Начали с того, что составили таблицы умножения для всех систем счисления, начиная с 3-й и кончая 10-й. Правда, мы, ввиду тривиальности, исключили строчки и столбцы с 1 (начали с 2). Постепенно, шаг за шагом, мы учились умножать многозначные числа на однозначные (на этот раз, начиная с двузначных и дойдя до пятизначных).

Вот примерь подробной записи (выполнение сопровождается проговариванием вслух всех этапов).

Меняем порядок сомножителей;

• разбиваем число на слагаемые и заключаем их в скобки;
• каждое слагаемое, в свою очередь, представляем как произведение цифры на степень основания системы счисления;
• раскрываем скобки;
• меняем порядок сомножителей;
• смотрим в соответствующую таблицу и записываем результаты;
• складываем в столбик, начиная с самого маленького числа и идя к самому длинному, помня при этом о правилах "переноса" - в какой мы системе находимся.

Иллюстрация:  в 8-й системе умножить 45632х4=(коммутативность)

1. 4х45632 =
2. 4х(40000+5000+600+30+2)=
3. 4х(4х10000+5х1000+6х100+3х10+2)= (дистрибутивность)
4. 4х(4х10000)+4х(5х1000)+4х(6х100)+4х(3х10)+4х2 (ассоциативность)
5. (4х4)х10000+(4х5)х1000+(4х6)х100+(4х3)х10+4х2= (смотрим в таблицу)
6. 20х10000+24х1000+30х100+14х10+10=  (записываем в столбик, выравнивая по правому краю, идя справа налево, от самого маленького числа к самому большому)

                                     10
                                   140
                   +            3000
                              24000
                            200000    =

Ответ: 227110

Видим, как нули растут сверху вниз лесенкой (мы отличаем нули, которые возникают при умножении цифр от нулей, которые возникают при умножении на степени основания системы счисления, последние мы выделили цветом). Замечая это, облегчаем наши действия, записывая умножение в виде, удобном для использования.

Пример выполненного умножения "лесенкой":

 Пример задания на умножение "лесенкой:

Умножение "лесенкой"

Ну, вот мы с вами и дошли, наконец, до того места, на котором мы с моими первоклассниками, находимся сейчас (26 января 2011) - умножаем многозначные числа на однозначные "лесенкой". Впереди умножение с "гаражом" и, наконец, полномасштабное умножение многозначных чисел "столбиком". "Промежуточные опоры", воздвигнутые на этом пути помогают понять внутренние причины и механизм этого правила и лучше его освоить. Это так называемые ориентировочные основы действия в данном конкретном случае. Эта педагогическая методика основана на психологической теории поэтапного формирования умственных действий проф. П.Я. Гальперина.

Литература.

[1] Преподавание математики (авторская программа) в НОУ "Школа Алеф", "Открытый Урок", 2007/2008

[2] Авторская программа преподавания математики в школе-интернате для одаренных детей "Интеллектуал" "Открытый Урок", 2009/2010