Цели:
- Ввести понятие синуса, косинуса и тангенса угла от 0° до 180°.
- Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки.
- Рассмотреть формулы приведения.
План урока:
- Организационный момент.
- Подготовка к изучению нового материала.
- Изучение нового материала.
- Закрепление темы.
- Постановка домашнего задания.
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение цели урока, позитивный настрой на урок.
2. Подготовка к изучению нового материала. Тест.
Приложение. Слайды 3–6.
3. Изучение нового материала
Введём прямоугольную систему координат Оху и построим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Назовём её единичной окружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную окружность в точке М(х;у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс.
Если угол α острый,
sin α = MD/OM,
cos α = OD/OM.
Но OM = 1, MD
= у, OD =
х, поэтому
sin α = у, cos
α = х. ка
0°≤ α ≤180°
синусом угла α называется ордината у точки М, а косинусом угла α – абсцисса х точки М.
tg a = y/x
Основное тригонометрическое тождество.
На рисунке изображены система координат Оxy и единичная полуокружность DСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид X² + Y² = 1. Подставив сюда выражения для x u y из формулы: sin = x, cos = y, получим равенство
sin²a+ cos²a = 1
Знаки sin a.
Так как sin a = y /R, то знак sin a зависит от знака y. В 1 и 2 четвертях y>0, а в 3 и 4 четвертях y<0. Значит: sin a>0, если а является углом 1 или 2 четверти, и sin a<0, если а является углом 3 или 4 четверти.
Знаки cos a.
Знак cos a зависит от знака x, так как cos a = x/R. В 1 и 4 четвертях x>0, а во 2 и 3 четвертях x<0. Поэтому: cos a>0, если а является углом 1 или 4 четверти, и cos a<0, если а является углом 2 или 3 четверти.
Знаки tg a и ctg a.
Так как tg a = y/x, а ctg a = x/y, то знаки tg a и ctg a зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg a>0 и ctg a>0, если а является углом 1 или 3 четверти; tg a<0 и ctg a<0, если а является углом 2 или 4 четверти.
Слайд 12.
Формулы для вычисления координат точки.
Пусть задана система координат Oxy и дана точка А(x;y).
Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол a: М – точка пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. x = cosa, y = sina, М(cosa; sina)
ОМ{cosa;sina}, ОА{x;y}
По лемме о коллинеарных векторах: ОА=ОА ∙ ОМ,
X=OA ∙ cosa, Y=Oa ∙ sina
4. Закрепление темы
№№ 1012, 1013, 1015
5. Постановка д.з.
Пп. 93–95, вопросы 1–6.
№№ 1011, 1014, 1015(б, г).