Урок на тему "Некоторые способы решения рациональных уравнений"

• Обобщение и систематизация изученных способов решения рациональных уравнений;
• Развитие памяти, логического мышления;
• Воспитание общечеловеческой культуры через исторический материал.

I. Организационный момент.

Вступительное слово учителя:

В течение нескольких уроков мы знакомились со способами решения целых, а затем дробно-рациональных уравнений. Сегодня обобщим наши знания, приведем их в некоторую систему, несколько алгоритмизируем выбор метода решения рационального уравнения и процесс решения таких уравнений. В частности, мы рассмотрим способы решения уравнений, сводящихся к квадратным, и нестандартные подходы к решению дробно-рациональных уравнений (Приложение 1).

У доски: исследовать и решить уравнение с параметром

(m + 3)x² – (3m + 1)x + m = 0

Прежде чем приступить непосредственно к выполнению заданий, ответим на несколько вопросов, акцентируя внимание на основные понятия.

1) Дайте определение целого уравнения с одной переменной.

(Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения, т.е. выражения, не содержащие деления на выражение с переменной.)

2) Что называется степенью уравнения?

(Степенью уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, называется степень этого многочлена. Степенью произвольного целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения указанного вида.)

3) Как находят корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0?

Дискриминант вычисляют по формуле D = b² – 4ac, квадратные уравнения имеют не более двух корней вида , если D<0, то корней нет, если D = 0, то один корень, если D>0, то два корня.)

4) Как находят корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, в случае если b – четное число?

(Если b –четное число, то

5) Для уравнений каких степеней известны формулы корней?

(Известны формулы корней для уравнений третьей и четвертой степеней, но они очень сложны и практически ими не пользуются. Формула для решения уравнений третьей степени называется формулой Кардано по фамилии известного итальянского врача, философа, математика и механика Джероламо Кордано, жившего в 16 веке. Все, кто имеет отношение к технике, знают о так называемой Карданной передаче. Для уравнений пятой степени, а также более высоких степеней, как доказал в 20-е годы норвежский математик Н. Абель, формул корней вообще не существует.)

6) Сколько корней имеет уравнение первой степени, второй, третьей и т.д.?

(Уравнение первой степени, т.е. линейное уравнение, имеет не более одного корня, второй степени – не более двух корней, третьей – не более трех. И, вообще, уравнение n-ой степени имеет не более n корней.)

7) Какие приемы решения целых уравнений вы знаете?

(Один из приемов решения уравнений вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени выше второй, состоит в разложении многочлена на множители. С помощью разложения на множители решение уравнений n-ой степени можно свести к решению уравнений более низких степеней.)

8) Какими способами можно разложить многочлен на множители?

(Способом группировки, по теореме Безу – если число a является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен можно разложить на множители (х – a) и Р₁(х), где Р₁(х) – многочлен (n – 1) -ой степени.)

9) Как найти этот самый корень, равный a, чтобы разделить многочлен на (х – a)?

(Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.)

10) Какие еще способы решения целых уравнений, кроме способа разложения на множители, вы знаете?

(Метод введения новой переменной, приведение уравнений к квадратным, графический метод.)

Мы сегодня подробнее остановимся на уравнениях, приводимых к квадратным, и рассмотрим некоторые нестандартные способы решения дробно-рациональных уравнений.

Выберите верный способ решения данного уравнения (см. приложение 1) (учащиеся кратко объясняют способ решения)

V. Выполнение тестов (см. Приложение 2).

В тестах вы должны выбрать верный ответ из 3 предложенных и записать их в клетки.
После выполнения тестов: если вы правильно выбран способ решения в тестах, то в клетках 1-го варианта, если читать с конца, должна получиться фамилия учёного – Блез Паскаль и век, в котором он жил – 17,который придумал замечательную таблицу Паскаля, таблица возведения двучлена в разные степени.

В клетках 2-го варианта – фамилия замечательного таджикского поэта и учёного Омара Хайяма, который жил примерно в 1048–1123 годах, который предложил геометрический способ решения уравнений третьей степени через конструкцию куба и параллелепипедов. Подробнее об этом способе вы можете узнать, прочитав сообщение на стенде “к уроку”.

Омар Хайям-поэт, его рубаи известны всему миру:

“Чтобы мудро жизнь прожить, знать надобно не мало,
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало”

Домашнее задание: по задачнику М.Л. Галицкого– № 9.16(г), № 9.23(г), № 9.30(а), по учебнику – № 396.