Наибольшее и наименьшее значение функции

“Математика представляет
искуснейшие изобретения,
способные удовлетворить
любознательность, облегчить
ремесла и уменьшить труд
людей”.
Декарт Р.

Преподавание ведется по учебнику “Алгебра и начала анализа 10–11” авторов АЛИМОВ Ш.А. и др. На тему “Наибольшее и наименьшее значение функции” отводится 5 часов. Данный урок является первым в изучаемой теме.

После данного урока должны:
– знать: алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;
– уметь: находить наибольшее и наименьшее значения функции, применяя алгоритм.

Общая дидактическая цель: познакомить учащихся с приемами нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задачи:

• Образовательная задача: вывести алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке; первичное закрепление полученных знаний в процессе решения несложных задач.
• Развивающая задача: создать условия для развития практического и творческого мышления; развитие познавательного интереса учащихся; развитие алгоритмической культуры.
• Воспитательная задача: создать условия для осознания учащимися ценности математических знаний, как средства познаний окружающего мира; содействовать развитию экономической культуры учащихся в процессе решения задач практической направленности; воспитание устойчивого интереса к изучению математики.

4. Тип урока: Урок формирования знаний.

1. Организационный этап;
2. Сообщение темы урока, постановка целей и задач урока, мотивация учебной деятельности;
3. Актуализация опорных знаний, подготовка к изучению нового материала.
4. Ознакомление с новым материалом;
5. Обобщение и первичное закрепление нового материала;
6. Подведение итогов урока, рефлексия;
7. Домашнее задание, инструктаж.

Домашнее задание и подготовка на предыдущем уроке:

• На предыдущем уроке в ходе инструктажа по выполнению домашнего задания учащимся был объяснен принцип построения упаковочной коробки без верха из листа картона квадратной формы, путем вырезания по углам квадрата четырех квадратиков. Обсуждены возможные длины сторон этих квадратиков. Составлена функция V(x) зависимости величины объема коробки от длины стороны х вырезанных квадратиков.
• На дом было задано: из листа картона имеющего форму квадрата со стороной 30 см изготовить упаковочные коробки с открытым верхом путем вырезания по углам квадрата четырех квадратиков с заданной длиной стороны. Каждому учащемуся задается определенная длина стороны квадратиков от 2 см до 13 см с шагом 1 см. Каждый ученик просчитывает объем полученной коробки. Кроме этого, каждый ученик должен был для составленной функции V(x) найти критические точки и значение функции в критических точках.

До начала урока один из учеников выписывает на отвороте доски решение домашнего задания на исследование функции V(x) на критические точки. На партах учащихся дежурный раскладывает алгоритмы нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке в конвертах, вопросы для актуализации знаний Учитель на доске записывает эпиграф к уроку; вывешивает пустую таблицу функциональной зависимости объема коробок, рисунки с графиками функций на отрезке; записывает словосочетания: критические точки, концы отрезка, промежуточные точки и формулу V(x), на отвороте доски записывает решение № 937(2). Ученики складывают на отдельную парту коробки и вносят в таблицу найденные значения объемов.

Обращается внимание на готовность класса: учебники, пособия, изготовленные коробки), черновики.

Учитель: Дома вам было заданно из листа картона квадратной формы размером 30х30 см изготовить упаковочные коробки с открытым верхом, вырезав по четырем углам картона квадратики с заданной длиной стороны. Длина стороны этих квадратиков характеризует высоту коробки. Кроме этого, вам необходимо было найти объемы полученных коробок. Полученные данные в ходе подготовки к уроку вы внесли в таблицу. Давайте посмотрим, какие же выводы можно сделать исходя из данных этой таблицы?

Ученики должны заметить, что объемы коробок будут разными в зависимости от высоты коробки (стороны вырезанных квадратиков); что увеличение высоты коробки сначала ведет к увеличению объема, но в дальнейшем с определенного значения начинается уменьшение объема.

Если ученики самостоятельно не могут сделать эти выводы, то учитель направляет их, задавая наводящие вопросы:

1. Зависит ли объем коробки от размеров вырезанных квадратиков (высоты коробки)?
2. Верно ли, что чем больше высота коробки, тем больше её объем?
3. При каком значении высоты коробки её объем будет наибольшим?

Учитель: – Итак, экономически выгодно упаковывать сыпучие товары в ту из изготовленных вами коробок, высота которой равна 5 см.
– Почему так получилось?
– На этот вопрос вам помогут ответить знания, которые вы приобретете сегодня на уроке.
– А тема урока: “ Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке” (записывают на доске и в тетрадях).
– Сегодня на уроке вы научитесь находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке более точным аналитическим способом, нежели исследование экспериментальных данных, так как мы это сделали при нахождении наибольшего объема коробок.

Учитель: Прежде чем перейти к изучению новой темы вспомним некоторые теоретические сведения. У вас на партах лежат листочки с вопросами на которые вы будете отвечать. В течении минуты можно обсуждать ответ с соседом по парте.

1. Какие точки называют критическими?
2. Назовите на рис. 1 <рисунок 1> критические точки.
3. Каков алгоритм нахождения критических точек?
4. Внимательно посмотрите на рисунки <рисунки 1, 2, 3, 4, 5>, вывешенные на доске (и подумайте верно ли утверждение, что на заданных отрезках наибольшее значение функция принимает в точке максимума).

Ученики: В течении 1 минуты обсуждают ответы на вопросы, а затем отвечают на вопросы учителя.

Учитель: Давайте посмотрим на каждый из рисунков и определим, в каких точках функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Точки, о которых будем вести речь условно разделим на три вида: критические точки, концы отрезка, промежуточные точки (обращается к записи этих терминов на доске). Показывает образец ответа на одном из рисунков : функция достигает наибольшего значения – на конце отрезка, наименьшего – в критической точке. Ниже рисунка делается запись:

y_наим – конец отрезка

y_наиб – критич. точка

Ученики: Делают аналогичные заключения по каждому рисунку, учитель записывает результаты под каждым чертежом.

Учитель: Давайте обобщим, в каких точках на отрезке функция может принимать наибольшее или наименьшее значение?

Ученики: В критических точках или на концах отрезка.

Учитель: А теперь перейдем от наглядного графического способа нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке к более абстрактному – аналитическому. Задана функция y = 3x² – 6x + 5, требуется найти наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-3;5]. Ваши действия? Чтобы решение проблемы было действенным, составим алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Учитель: Итак мы сделали вывод, что функция может достигать наибольшего значения либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Как вы думаете, каким должен быть первый шаг алгоритма?

Ученики: 1. Найти критические точки заданной функции. (Записывают в черновиках).

Учитель: Найденные критические точки могут как принадлежать заданному отрезку, так и не принадлежать. Все ли найденные критические точки будут нас интересовать? Как это скажется на следующем шаге алгоритма?

Ученики: Нет, нас будут интересовать только те критические точки, которые принадлежать заданному отрезку. Второй шаг алгоритма: 2. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному промежутку.

Ученики: 3. Найти значение функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

Ученики: 4. Выбрать из найденных значений функции наибольшее и наименьшее.

Учитель: А теперь сравним составленный вами алгоритм с алгоритмом вывешенным на доске (вывешивает алгоритм) и обсудим существенность их разницы.

Учитель: Итак, вернемся к функции y = 3x² – 6x + 5, и попробуем найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3;5], опираясь на составленный алгоритм. Учитель сам показывает образец решения, ученики записывают решение в тетради.

Запись решения:

1. Функция определена и дифференцируема в каждой точке отрезка. Поэтому можно найти её производную. y‘= 6x – 6.

– Найдем критические точки:
а)Точек в которых производная не существует – нет.
б) Найдем точки в которых производная равна нулю. 6х-6=0; х=1.

2. Точка х=1 принадлежит заданному отрезку.

3. f(-3)=27+18+5=50; f(5)=75-30+5=50; f(1)=3-6+5=8.

4. y_наим =8; y_наиб =50.

№ 938(1) – по желанию у доски.

№ 937 (2) – самостоятельно с проверкой по отвороту. В ходе решения опираются на алгоритм, могут обращаться за помощью к соседу и учителю. После нахождения критических точек показать результат учителю или соседу по парте если его уже проверил учитель.

Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой.

y‘= 6x² + 6х-36. Найдем критические точки. 6x² + 6х-36=0; x² + х-6=0; х₁=-3; х₂=2.

f(-2)=68; f(1)=-31. Ответ: y_наим =-31; y_наиб =68

Учитель: На прошлом уроке мы составили функцию, позволяющую находить объем наших коробок в зависимости от стороны вырезанного квадрата (высоты коробки) и определили отрезок, на котором целесообразно было бы рассматривать эту высоту (записано на доске). Давайте попробуем найти наибольшее и наименьшее значение функции V(x) на отрезке [2;13]. Первый этап: нахождение критических точек вы выполнили дома. Давайте сделаем сверку решения домашнего задания по отвороту на доске. Если есть вопросы задайте. (Учитель проходит по рядам и смотрит на выполнение задания ).

V=(30-2x)²·x = 900x-120x²+4x³;
V’=12x²-240x+900;
V’=0; 12x²-240x+900=0; x²-20x+75=0;х₁=5 х₂=15. V(5)=2000, V(15)=0

Ученик по желанию (продолжает решение): Из двух найденных критических точек заданному отрезку принадлежит точка х=5 V(1)=784;V(14)=56; V(5)=2000.

Учитель: Аналитическое решение подтверждает правильность результатов нашего эксперимента и объясняет почему при высоте в 5 см объем коробки будет наибольшим.

Учитель: Чему вы научились сегодня на уроке? Верно, ли что на отрезке наименьшее значение функция принимает в точке минимума? Как найти наименьшее и наибольшее значение функции непрерывной на отрезке функции, если она имеет несколько критических точек? Не имеет критических точек?

Учитель: Эти знания пригодятся вам на уроках геометрии при нахождении наибольшего объема, площади поверхности рассматриваемых фигур. Те, кто всерьез займется математикой, познакомятся с целой областью этой науки (вариационным исчислением), которая оперирует понятиями наибольшего и наименьшего значения функции. Ну а с практической значимостью, рассматриваемой темы, вы уже начали знакомиться и мы продолжим на следующих уроках. А пока домашнее задание.

1. В конвертах у вас на партах лежит палочка выручалочка по теме сегодняшнего урока. Она поможет не только успешно выполнить домашнее задание, но и получить достойную вас оценку по этой теме на проверочной работе. Посмотрите что это за палочка – выручалочка? Алгоритм который находится у вас в конвертах вклеить в пособие по теме и знать.
2. № 937(1), № 938(2).
3. Прочитать отрывок из рассказа Л.Н.Толстого “Много ли человеку земли надо”. И ответить на вопрос: Мог ли Пахом, пробежав то же расстояние, оббежать участок большей площади? Решение этой задачи мы разберем на следующем уроке
4. Дополнительное задание (по желанию). Попытайтесь выяснить преследовали ли изготовители спичечных коробков идею наибольшего объема? Ведь размеры этого “памятника человеческой цивилизации” не меняются много десятилетий?