Производная. Применение непрерывности и производной. 10-й класс

Цель: Обобщение и закрепление знаний, умений и навыков по теме “Применение непрерывности и производной”.

Задачи:

• Проверить степень сформированности умений и навыков:
  – применения правил вычисления производной функции и нахождения значения производной в данной точке.
  – определения промежутков возрастания и убывания функции, точек минимума и максимума функции, углового коэффициента касательной (используя геометрический смысл производной).
  – составления уравнения касательной к графику данной функции.
• Развивать интеллектуальные способности учащихся, логическое и алгоритмическое мышление, внимание, память.
• Формировать такие качества, как самостоятельность; используя метод соревновательности, развивать умения учащихся действовать в незнакомой ситуации, способствовать развитию интереса к математике.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, призы для победителей, карточки заданий для участников заездов, презентация (Приложение 1)

Ход урока

I. Организационный момент.

1) Эпиграф. Постановка целей

– Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький.
(Конфуций)

– Какой путь к знанию выбираете для себя вы?
– Какой из путей вы считаете самым продуктивным?

Сегодня мы посмотрим, по какому из путей к знанию движетесь вы. Как вы умеете находить производные, вычислять их значение в данной точке, применять непрерывность и производную при нахождении промежутков возрастания (убывания) функции, нахождении точек минимума (максимума) функции.

2) Правила игры [1].

1. Правила ставок.

Наш урок пройдет в нетрадиционной форме. Сегодня у нас математические скачки! Каждый из вас будет участником одного из заездов. Вы будете работать в тройках, составы которых я сейчас объявлю. Во время оглашения списка участников заездов вам необходимо сделать ставки, т.е. предположить, кто из участников может одержать победу.

Перед вами листочки, на которых в верхней строке вы запишите свою фамилию и имя. Номера в таблице – это номера заездов. Рядом с номером заезда вы записываете имя того участника, кто по вашему мнению победит в соревновании, т.е. первым справится с заданием. Если же вы считаете, что никто из участников не справится с заданием, то напротив номера заезда поставьте прочерк.
Тот, кто верно угадает победителей всех заездов, получает приз.

2. Правила для игроков.

Игрок, первым правильно выполнивший задания, становится победителем данного заезда и получает “5”. Другие участники этого заезда останавливаются и проходят на свои рабочие места. Остальные ребята, пока игроки выполняют задания, решают те же задачи. Если вы выполните их быстрее, чем участники заезда, о чем оповестите меня поднятой рукой, то заработаете дополнительное вознаграждение (все правильно выполненные задания в трех заездах оцениваются в 5 баллов). Не расстраивайтесь, ребята, если вам не хватило времени на выполнение всех заданий, вы будете оценены учителем после того, как он проверит ваши тетради.

3) Объявление участников заездов.

Итак, внимание! Объявляю участников заездов. Делайте ставки, господа.

1-й заезд:
2-й заезд:
3-й заезд:
4-й заезд:
5-й заезд:

После того как “ставки” сделаны, собрать листочки и продемонстрировать приз.

II. Соревнование.

1) Старт.

Наступило время соревнований. На старт приглашаются участники первого заезда (задания выводятся проектором на экран).

1-й заезд:

Найдите производную функции и вычислите ее значение в точке х = (Ответ: 0)

Найдите точку максимума функции . (Ответ: - )

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ = 2  (Ответ: 11,5)

2) Смена игроков/

На стартовую прямую приглашаются участники второго заезда

2-й заезд:

1) Найдите производную функции и вычислите ее значение

в точке х = 1 (Ответ: 0)

2) Найдите промежутки, на которых функция  f(x) = -2x³ + 15x² + 12возрастает. (Ответ: [0;5])

3) Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции y = lnx + x² в точке x₀ =   (Ответ: 3)

Физкультминутка:

– Немного отдохнем. Упражнения, которые я вам предлагаю, помогают активизировать мыслительную деятельность. Их можно использовать при подготовке к экзаменам и даже во время их сдачи.

“Лезгинка”.

Левая рука сложена в кулак, большой палец отставлен в сторону, кулак развернут пальцами к себе. Правая рука ладонью в горизонтальном положении прикасается к мизинцу левой руки. После этого одновременно меняется положение правой и левой рук в течение 6-8 смен позиций. Добиваться высокой скорости смены положений.

“Кулак – ребро – ладонь”.

Показать три положения рук на плоскости стола, последовательно сменяющих друг друга. Ладонь на плоскости стола; ладонь, сжатая в кулак; ладонь ребром на плоскости стола. Ребята выполняют пробу вместе с педагогом, а затем по памяти в течение 8-10 повторений моторной программы. Проба выполняется сначала правой рукой, затем – левой, затем – двумя руками вместе.

5. Третий заезд

На старт приглашаются участники третьего заезда.

3-й заезд:

1) Найдите производную функции и вычислите ее значение

в точке х = (Ответ: 1)

2) Найдите промежутки убывания функции . (Ответ: [ 0; 4])

3) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 2x   в точке его с абсциссой x₀ = -2 (Ответ: y = -2x – 4)

5) Четвертый заезд

На старт приглашаются участники четвертого заезда.

4-й заезд:

1) Сколько целых решений имеет неравенство (Ответ: 1)

2) Найдите производную функции f(x) = (x – 3)(x² + 3x +9) (Ответ: 3х²)

3) f(x) = 4e^x + sin x

6) Пятый заезд.

На старт приглашаются участники пятого заезда.

5-й заезд:

1) Найдите промежутки убывания функции y = 2x³ – 6x² + 7 . (Ответ: [ 0; 2])

2) Найдите вторую производную функции x(t) = 2t³ + 3t +1 , вычислите ее значение при t = 3. (Ответ: 36)

3) Вычислить производную функции  f(x) = 4sin x – 6x⁵ (Ответ: 4 cos x – 30x⁴)

III. Подведение итогов.

1) Выявление победителя ставок (учитель записывает победителя после каждого заезда на доске, проверяются ставки, награждаются победители ставок, если таковые есть).

2) Объявление оценок за работу на уроке.

IV. Резерв. Программированный контроль.

– Необходимо найти производную и вычислить ее значение в данной точке. Выбрать правильный ответ и записать его номер. Номера правильных ответов нужно написать в строчку, чтобы получилась запись из четырех цифр.

Задания		Варианты ответов
Вариант I	Вариант II	1	2	3	4
f(x) = (1 + 2x)(2x –1) Найдите f´(-2)	f(x) = (3 – 2x)(2x + 3) Найдите f´(-2)	-16	17	16	-17
φ(x) = 7 + x3 Найдите φ´(3)	φ(x) = 3 + x2 Найдите φ´(3)	27	9	6	81
g(x) = 4sin x Найдите	g(x) = 2cos x Найдите	-2		-	2
Найдите h´(-1)	Найдите h´(-1)	3	1	-1	-3

Ответы:

I-й вариант: 1, 2, 4, 3.
II-й вариант: 3, 1, 2, 4.

V. Рефлексия.

– Понравилась ли вам, ребята, данная форма урока?
– Вспоминая эпиграф урока, ответьте на вопрос: каким путем к знанию двигались сегодня вы?

Дополнительные задания для заездов:

1-й заезд:

1) Найдите производную функции f(x) = sin 4x и вычислите ее значение

в точке х =   (Ответ: -4)

2) Найдите все интервалы убывания функции (Ответ:

3) Найдите наибольшее значение функции y = x² – 2x + 5  на отрезке [0; 1]. (Ответ: 5)

2-й заезд:

1) Найти наименьшее значение функции f(x) = 3x⁴ – 4x³ . (Ответ: 1)

2) Решите неравенство методом интервалов . (Ответ: )

3-й заезд:

Найдите производные функций

1) f(x) = e^x – 4x². (Ответ: e^x – 8x)

2) f(x) = 2x³ + 7,5x² – 9x  (Ответ: 6х²+15х)

3) f(x) = x³ – 16x (Ответ: 3х² – 16)

Литература:

1. Занимательная математика. 5–11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными) / Авт.-сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005.
2. Алгебраи начала анализа: Учеб. Для общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2008.