Урок по наглядной геометрии "Симметрия помогает решать задачи". 6-й класс

Цель урока: познакомить учащихся с понятием “симметрия”, научить решать задачи.

Учитель: Слово "симметрия"греческого происхождения ("сим"– с, "метрон"-мера) и буквально означает "соразмерность".В архитектуре и в искусстве оно применяется также в смысле гармоничности, равновесия, красоты.

Издавна человека, познававшего в ходе трудовой деятельности явления природы, поражала форма некоторых предметов и существ: очертания листьев на деревьях, расположение лепестков на цветах, виды плодов и бабочек, спирали раковин, строение многогранных кристаллов и т. п. строение самого человеческого тела тоже симметрично.

Зачатки учения о симметрии относятся к глубокой древности – об этом свидетельствуют различные геометрические орнаменты на сохранившихся от этой эпохи каменных и гранитных плитах и сосудах. Многовековые наблюдения человека над симметричными фигурами среди минералов, растений и животных, его долголетний опыт применения симметрии в строительстве и искусстве привели к созданию учения о симметрии.

Учитель: Слово “симметрия” в переводе с греческого означает “одинаковость в расположении частей”. В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи. А для того чтобы освоить “метод симметрии”, надо сначала познакомиться с основными свойствами симметрии. Из этих свойств симметрии следует важное свойство плоскости.

1. Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой (рис.1).

2. Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам (рис.2).

3. Если отрезок M1 N1 и M N симметричны относительно прямой l, то их длины равны (рис.3).

4. Если точка А1 симметрична точке А относительно прямой l, то для любой точки В на этой прямой отрезки А1В и АВ равны (рис.4).

Из этих свойств симметрии следует важное свойство плоскости.

Если А – некоторая точка плоскости, а В – точка на прямой l, то длина отрезка АВ будет наименьшей, если отрезок АВ перпендикулярен l.

Кратчайшим путем от точки до прямой является путь по перпендикулярному к этой прямой направлению.

Докажем это. Возьмем точку В так, чтобы отрезок АВ был перпендикулярен l (рис. 5). Пусть В0 – любая другая точка на l. Нам надо доказать, что АВ меньше АВ0. Возьмем точку А1, симметричную точке А относительно l. Тогда точка В будет лежать на отрезке АА1, АВ=ВА1 (свойство 2) и АВ0=В0А1 (свойство 4). Отрезок АА1 короче ломаной АВ0А1. Значит, и АВ меньше, чем АВ0 , что и требовалось доказать.

Если мы теперь начертим окружность с центром в точке А, проходящую через точку В (т.е. АВ-радиус), то эта окружность будет иметь с прямой l единственную общую точку-точку В (рис.6). В этом случае говорят, что окружность касается прямой l или что прямая l есть касательная к окружности.

По существу, мы доказали одно очень важное свойство окружности и касательной к ней.

5. Решение задач.

1. Две параллельные прямые пересекают окружность. Рассмотрим на окружности две дуги, лежащие между этими прямыми. Оказывается, эти дуги всегда равны. Почему?

2. Возьмем окружность и точку А вне её. Из этой точки к окружности можно провести две касательные. Пусть одна касается окружности в точке В, а другая в точке С. Имеет место равенство АВ=АС. Почему?

3. Ученик нарисовал на доске окружность, отметил на ней точки А, В и С и стер её, оставив лишь эти точки. Как восстановить окружность?

4. На плоскости дан острый угол и точка А внутри него. Найти на сторонах угла две точки M и N так, чтобы длина замкнутого пути AMNA (AM+MN+NA) была наименьшей.

6. Итог урока

– Что означает слово симметрия?

– В чем заключается важное свойство плоскости?

– Что является кратчайшим путем от точки до прямой?

– При каких условиях прямая касается окружности?

7. Домашнее задание

П.32 стр.148-149 задача 1 стр.149