Параметр как равноправная переменная

Самошкина Людмила Александровна, учитель математики

Параметр как равноправная переменная.

Этот метод применяется при решении некоторых задач с параметрами, когда непосредственный поиск переменной затруднен и в этом случае параметр объявляется переменной и решение проводится относительно параметра. В частности, этот метод эффективен в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а наибольшая степень параметра равна двум. Также этот метод применим для решения определенного типа задач, где в качестве переменной объявляется часть аналитического выражения, участвующего в задаче, в котором могут присутствовать или отсутствовать и параметр и основная переменная, и решение проводится относительно новой переменной.

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример № 1. При всех значениях параметра a решить уравнение

+(2а)+(12а)х+= 0.

Решение. Раскроем скобки и перепишем уравнение по убыванию степеней параметра a: +2а+х2ах+ = 0. -> +а(2х1)+(+2) = 0. Получилось квадратное относительно a уравнение.

Его дискриминант: 4(+2) = 4х =

Найдем корни выписанного выше квадратного относительно a уравнения:

= = 1х; = = х.

Воспользуемся теперь формулой разложения имеющего два корня квадратного трехчлена в произведение линейных множителей:

+а(2х1)+(+2)=(а

то есть уравнение принимает вид: (а1+х)(ах)=0.

Это уравнение равносильно совокупности квадратного и линейного уравнений:

Первое уравнение совокупности - линейное и всегда имеет единственное решение: х = а1. Второе уравнение - квадратное относительно переменной x, его дискриминант: D=1+4а.
Выясним, при каких значениях a корень уравнения (1) совпадает с одним из корней уравнения (2). Подстановка корня х = а1 в (2) дает (а1)а = 0. -> ;

D<0 -> а< ; -> уравнение (2) не имеет решений.

D=0 -> а= ; -> х= - единственное решение уравнения (2).

D>0 -> а> ; -> = ; = - два корня уравнения (2).

Заметим, что при а = D = 1+4а = .

Ответ: если а<

если а= ; = ,

если а> и а не равно 2+ , то ,

если а= 2 ,то ,

если а= 2 ,то

Пример № 2.

Найти все значения параметра а, при которых среди решений неравенства (а)(а+2х8) < 0 нет ни одного решения неравенства < 4. Решение. Задачу целесообразно переформулировать так: найти все значения параметра а, при которых для всех < 4 выполнено неравенство:

(а)(а (2х+8)) Ю= 0. (1)

Неравенство (1) является квадратным относительно параметра а, и его решением относительно а является вся числовая прямая за исключением интервала, концами которого служат числа (2х+8).

Если < 4, то 2< х< 2, а значит, 0< 4< 2х+8< 12.

Таким образом принимает значения от 0 до 4, а (2х+8) - от 4 до12. Тем самым из решения неравенства (1) должен быть исключен интервал (0;12 , и значит, а (а

Ответ: а (

Пример № 3.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

= имеет решения.

Решение. Обозначим = р. Исходное уравнение примет вид:

= . С учетом условия |р| <= 1 это уравнение равносильно системе: .

Уравнение системы удобно представить как квадратное относительно параметра а. Получим: +1)+ Отсюда а = +р+1 или а = р.

Так как то +р+1> 0, т.е. а не равно +р+1.

Поэтому последняя система равносильна такой: . Заметим, что эта система учитывает требование . Рассмотрим функцию у = р. Очевидно на отрезке [0;1] ее область значений - весь промежуток . ( в вершине параболы). Отсюда исходное уравнение имеет решения при <= а <= 0.

Ответ: <= а <= 0.

Пример № 4.

Найти все значения а, при которых уравнения

х² + х + 4а = 0 и а²х² + ах + 4а = 0 имеют общий действительный корень.

Решение. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными х и а:

Решением этой системы будут пары вида (х ; а), и очевидно значения вторых

компонентов пар-решений будут составлять ответ данной задачи. Имеем

-> .

Последняя система равносильна совокупности трех систем:

а) . эта система решений не имеет.

б) . отсюда .

в) .

Очевидно при а= эта система решений не имеет. Если а не равно -1 тогда

-> .

Эта система имеет три решения (х ; а): (1 ; 0), (2 ; ), (2;.

Ответ: а = 0, а = , а = .

Пример № 5.

Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство

Решение.Рассмотрим уравнение . Умножим левую и правую части на а. Получим .

Сделаем замену ах = t. Тогда имеем .

Рассмотрим последнее уравнение как квадратное относительно а:

. Получим

Если а = 0, то исходное неравенство принимает вид: х+3 >= 0 . Решением этого неравенства является промежуток (.

Рассмотрим случай, когда а 0.

Умножим обе части исходного неравенства на а. Получим: . С учетом ранее полученного решения уравнения раскладываем левую часть этого неравенства на множители:

( >= 0. Так как а 0, то ( >= 0.

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в первых скобках,

D = Очевидно при а 0 D < 0. Следовательно, при всех х. Значит, при а 0 исходное неравенство

равносильно неравенству >= 0. Дискриминант квадратного трехчлена равен D = 112а. Если а >= , то очевидно последнее неравенство выполняется для всех х.