Параметр как равноправная переменная.
Этот метод применяется при решении некоторых задач с параметрами, когда непосредственный поиск переменной затруднен и в этом случае параметр объявляется переменной и решение проводится относительно параметра. В частности, этот метод эффективен в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а наибольшая степень параметра равна двум. Также этот метод применим для решения определенного типа задач, где в качестве переменной объявляется часть аналитического выражения, участвующего в задаче, в котором могут присутствовать или отсутствовать и параметр и основная переменная, и решение проводится относительно новой переменной.
Рассмотрим применение этого метода на примерах.
Пример № 1. При всех значениях параметра a решить уравнение
![](Image4650.gif)
![](Image10432.gif)
![](Image4650.gif)
![](Image10433.gif)
Решение. Раскроем скобки и перепишем
уравнение по убыванию степеней параметра a: +2
а
+х
2ах+
= 0. ->
+а(
2х
1)+(
+2
) = 0. Получилось
квадратное относительно a уравнение.
Его дискриминант: 4(
+2
) =
4х
=
Найдем корни выписанного выше квадратного относительно a уравнения:
![](Image10449.gif)
![](Image4650.gif)
![](Image10450.gif)
![](Image10451.gif)
![](Image10452.gif)
Воспользуемся теперь формулой разложения имеющего два корня квадратного трехчлена в произведение линейных множителей:
![](Image10454.gif)
![](Image4650.gif)
![](Image10455.gif)
![](Image10456.gif)
![](Image10457.gif)
то есть уравнение принимает вид: (а1+х)(а
х)=0.
Это уравнение равносильно совокупности квадратного и линейного уравнений:
Первое уравнение совокупности - линейное и
всегда имеет единственное решение: х = а1. Второе
уравнение - квадратное относительно переменной x,
его дискриминант: D=1+4а.
Выясним, при каких значениях a корень
уравнения (1) совпадает с одним из корней
уравнения (2). Подстановка корня х = а1 в (2) дает
(а
1)
а = 0. ->
;
D<0 -> а< ; -> уравнение (2) не имеет решений.
D=0 -> а= ; -> х=
- единственное решение уравнения (2).
D>0 -> а> ; ->
=
;
=
- два корня
уравнения (2).
Заметим, что при а = D = 1+4а =
.
Ответ: если а<
если а=
;
=
,
если а> и а не равно 2+
, то
,
если а= 2 ,то
,
если а= 2 ,то
Пример № 2.
Найти все значения параметра а, при которых
среди решений неравенства (а)(а+2х
8) < 0 нет ни одного
решения неравенства
< 4. Решение. Задачу
целесообразно переформулировать так: найти все
значения параметра а, при которых для всех
< 4
выполнено неравенство:
(а)(а
(
2х+8)) Ю= 0. (1)
Неравенство (1) является квадратным
относительно параметра а, и его решением
относительно а является вся числовая прямая
за исключением интервала, концами которого
служат числа (
2х+8).
Если <
4, то
2<
х< 2, а значит, 0<
4<
2х+8< 12.
Таким образом принимает значения от 0 до 4, а (
2х+8) - от 4
до12. Тем самым из решения неравенства (1) должен
быть исключен интервал (0;12
, и значит, а
(
а
Ответ: а (
Пример № 3.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение
![](Image10497.gif)
Решение. Обозначим = р. Исходное уравнение примет
вид:
![](Image10500.gif)
![](Image10501.gif)
Уравнение системы удобно представить как
квадратное относительно параметра а.
Получим: +1)+
Отсюда а =
+р+1 или а =
р.
Так как то
+р+1> 0, т.е. а не равно
+р+1.
Поэтому последняя система равносильна такой: .
Заметим, что эта система учитывает требование
. Рассмотрим
функцию у =
р. Очевидно на отрезке [0;1] ее область
значений - весь промежуток
. (
в вершине параболы). Отсюда
исходное уравнение имеет решения при
<= а <=
0.
Ответ: <= а <= 0.
Пример № 4.
Найти все значения а, при которых уравнения
х2 + х + 4а = 0 и а2х2 + ах + 4а = 0 имеют общий действительный корень.
Решение. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными х и а:
.
Решением этой системы будут пары вида (х ; а), и очевидно значения вторых
компонентов пар-решений будут составлять ответ данной задачи. Имеем
![](Image10516.gif)
Последняя система равносильна совокупности трех систем:
а) .
эта система решений не имеет.
б) .
отсюда
.
в) .
Очевидно при а= эта система решений не имеет. Если а
не равно -1 тогда
![](Image10524.gif)
Эта система имеет три решения (х ; а): (1 ; 0), (
2 ;
), (2;
.
Ответ: а = 0, а =
, а =
.
Пример № 5.
Для каждого неотрицательного значения
параметра а решить неравенство
Решение.Рассмотрим уравнение . Умножим левую и правую части
на а. Получим
.
Сделаем замену ах = t. Тогда имеем .
Рассмотрим последнее уравнение как квадратное относительно а:
.
Получим
Если а = 0, то исходное неравенство принимает
вид: х+3
>= 0 . Решением этого неравенства является
промежуток (
.
Рассмотрим случай, когда а 0.
Умножим обе части исходного неравенства на а.
Получим: . С учетом ранее полученного решения
уравнения раскладываем левую часть этого
неравенства на множители:
( >=
0. Так как а
0, то (
>= 0.
Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в первых скобках,
D =
Очевидно при а
0 D < 0. Следовательно,
при
всех х. Значит, при а
0 исходное неравенство
равносильно неравенству >= 0. Дискриминант
квадратного трехчлена
равен D = 1
12а. Если а >=
, то
очевидно последнее неравенство выполняется для
всех х.
Если 0 < а < , то легко установить, что решением
рассматриваемого неравенства есть объединение
промежутков
(- ]
[
;
.
Ответ: если а = 0, то х <= 3;
если 0 < а < , то х <=
или х >=
;
если а >= , то х - любое.
Задачи для самостоятельного решения.
При каждом значении параметра а решить уравнение
.
Найти все значения х, удовлетворяющие
данному неравенству хотя бы при одном значении а,
принадлежащем отрезку :
Решить уравнение
.
Решить уравнение
(указание - рассмотреть уравнение как
квадратное относительно ).
Решить уравнение
(указание - рассмотреть уравнение как
квадратное относительно ).
Найти все значения параметра а, при которых уравнения
22 и
имеют общие корни. Найти эти корни.
Для каждого неотрицательного значения
параметра а решить неравенство .