Производная в физике, технике и природе

«…нет ни одной области в математике,
которая когда-либо не окажется применимой
к явлениям действительного мира…»
Н.И. Лобачевский.

«Все сведения о природных телах и их
свойствах должны содержать точные указания
на число, вес, объем, размеры… Практика
рождается только из тесного соединения
физики и математики.»
Ф.Бекон.

Цель урока:

• выразить законы, выведенные на основе объединённых опытных фактов, в виде дифференциальных уравнений в математике;
• решить их с применением для количественного описания механических, электромагнитных, оптических, тепловых и других явлений в физике.

Задачи:

1. Добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о понятии производной (её геометрическом и физическом смысле).
2. Формировать навыки практического использования производной в предметах школьного курса, показать их применение при решении жизненно важных задач.
3. Развивать познавательный интерес у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретический значимости темы и использование возможностей ИКТ в изучении темы.

Оборудование:

• компьютер, доска;
• мультимедийный проектор;
• презентация;
• индивидуальные карточки на дом.

Ход урока

I. Организационный этап.

Показатели выполнения психологической задачи этапа:

• доброжелательный настрой учителя и учащихся;
• быстрое включение класса в деловой ритм;
• организация внимания всех учащихся;
• кратковременность организационного момента; полная готовность класса и оборудования к работе.

Я очень рада видеть вас здоровыми, полными сил и готовыми к полезной деятельности, необходимой вам для получения качественного образования. Сейчас вы стоите на пороге выбора будущей профессии. Кто-то уже определился и готовит себя к поступлению в ВУЗ. Кому-то предстоит сделать этот серьёзный выбор, от которого зависит всё благополучие вашей будущей жизни. А пока мы с вами в творческой лаборатории исследований 11 а класса.

Тема работы коллектива сотрудников: «Производная в физике, технике и природе». Производная широко используются в различных областях деятельности человека, поэтому умение прогнозировать, решать имеют огромную роль в практической деятельности. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Изучение материала по теме урока имеет принципиально важное значение, так как здесь показывается приложение к решению различных физических и технических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

План работы творческой лаборатории исследований 11а класса:

1. Рабочее совещание. Задание на следующий день исследований.
2. Исторические сведения.
3. Защита проектов.
4. Творческий поиск.
5. Подведение итогов работы.

II. Этап актуализации опорных знаний учащихся.

(Рабочее совещание.)

Показатели выполнения учебно-воспитательной задачи этапа:

• проверка учителем не только объема и правильности знаний, но также их глубины, осознанности, гибкости и оперативности, умения использовать их на практике;
• рецензирование ответов, направленное на указание положительных и отрицательных сторон в знаниях;
• активная деятельность всего класса в ходе проверки знаний отдельных учащихся.

Учитель:

1. В чём заключается механический смысл производной?
Ответ. Производная функции у = f(х), в точке х₀, выражает скорость изменения функции в этой точке.

2. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то S · (t) – ?
Ответ. Скорость движения в момент времени t v(t) = S · (t).

3. Вторая производная от закона движения?
Ответ. Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение а(t) = v · (t) = S · (t).

4. В чем заключается геометрический смысл производной?
Ответ. Значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). k = tga = f '(x₀).

5. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.
Ответ. 3.

6. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 1, если х (t) = t3 – 2t2 + 5 (-1 и 2).

7. Как называется операция нахождения производной функции?

Ответ. Дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.)

Выясняем формулы из физики, где используется производная.

• υ(t) = х'(t) – скорость.
• a(t) = υ'(t) – ускорение.
• I(t) = q'(t) – сила тока.
• с(t) = Q'(t) – теплоемкость.
• d(l) = m'(l) – линейная плотность.
• K(t) = l'(t) – коэффициент линейного расширения.
• ω(t) = φ'(t) – угловая скорость.
• e(t) = ω'(t) – угловое ускорение.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

• N(t) = A'(t) – мощность.
• F(x)= A'(x) – Сила есть производная работы по перемещению.
• Е = Ф'(t) – ЭДС индукции.
• F = р'(t) – 2 закон Ньютона.

III. Этап проверки домашнего задания.

Применение производной для решения задач по физике.

А) Исторические сведения.

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1. О разыскании касательной к произвольной линии.
2. О разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. В 17 веке перед естествознанием возникла проблема – найти законы движения и установить законы механики. Для этого аппарат математики постоянных величин был недостаточным. Два ученых независимо друг от друга: английский физик, механик, астроном и математик И.Ньютон и немецкий математик, физик, философ Г. Лейбниц, создали дифференциальное и интегральное исчисления, которые стали могучим средством решения многих задач. Концепции у ученых были разными. Лейбниц развивал чистый анализ, Ньютон же рассматривал математику , или как тогда говорили, геометрию, как способ для физических исследований.

2 учащихся оформляют на доске задачи 1, 2.

Б) Защита проектов.

Задача 1. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t² + t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Дано:

m = 4 кг
х(t) = t² + t + 1
t = 3 с
W_к – ? F – ?

Решение: Скорость есть функция времени, поэтому

= х'(t)
= 2t + 1
(3) = 7 м/с

В физике скорость изменения скорости называется ускорением.

a(t) = '(t)
a(t) = 2м/с²
W =
W = 98 Дж
F = ma
F = 8 Н

Ответ: 98 Дж; 8 Н.

Задача 2. Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2e^-0,05t. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Дано:

n(t) = 2e^-0,05t
n'(t) – ?

Решение: n'(t) = (2e^-0,05t)' = 2 (e^-0,05t)' · (- 0,05t)' = 2e^-0,05t · (- 0,05) = -0,1e^-0,05t.

Ответ: -0,1e^-0,05t; знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.

Задача 3. Теплоемкость воды при t = 100^оС равна 1,013. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0^оС до t^оС, определяется формулой Q = t + 2 × 10^-5t² + 3a × 10^-7t³. Найдите значение параметра а.

Задача 4. Напряжение на конденсаторе ёмкостью C = 0,5 мкФ изменяется по закону: u = 10sin (100t). Найти как изменяется со временем сила тока через конденсатор.

I = q'= C dU/dt =CU·100cos 100 t = 5·10^-7 ·10·100·3,14· cos (100 t) = 1,57 cos (100 t) мА.

Задача 5. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10^-6sin10⁴t. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Дано:

q = 10^-6sin10⁴ t
I(t) – ?

Решение:

I(t) = q'(t) = 10^-6· 10⁴ cos10⁴  t = 10^-2 cos10⁴t.

Ответ: 10^-2.

Решение проблемных поисковых задач.

1.С какой силой давит на землю кобра длиной L и массой M, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v? Применим 2-й закон Ньютона к движению змеи в целом. Сила N – сила реакции земли, равная по величине искомой силе давления змеи на землю, а импульс р = тv, т = уh — масса поднимающегося вертикального участка змеи высотой h, у = М/L, – заданная постоянная скорость подъёма. Соответственно N = Мg + dp/dt = Мg + у dh/dt v =Mg + yv² =M(g+ v²/L).

IV. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Примеры применения производной. Творческий поиск.

Рассказ учителя.

В наши дни без дифференциального исчисления невозможно не только рассчитать работу железнодорожного транспорта, космические траектории, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение или изменение численности различных и взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это – динамические процессы.

Рассказ ученика.

Пароход "Челюскин" в феврале 1934 года успешно прошел весь северный морской путь, но в Беринговом проливе оказался зажатым во льдах. Льды унесли "Челюскин" на север и раздавили.

Вот описание катастрофы: "Крепкий металл корпуса поддался не сразу, – сообщал по радио начальник экспедиции О.Ю. Шмидт. – Видно было, как льдина вдавливается в борт, и как над ней листы обшивки пучатся, изгибаясь наружу. Лед продолжал медленное, но неотразимое наступление. Вспученные железные листы обшивки корпуса разорвались по шву. С треском летели заклепки. В одно мгновение левый борт парохода был оторван от носового трюма до кормового конца палубы…"

- Почему произошла катастрофа?

Сила Р давления льда (рис. на доске – плакат) разлагается на две: F и R. R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R – a – угол наклона борта к вертикали. Q – сила трения льда о борт. Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения). Если Q < F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q > F, то трение мешает скольжению льдины, и лед может смять и продавить борт. 0,2R < R tg a , tg a > 0,2Q < F, если a > 110. Наклон бортов корабля к вертикали под углом a > 110 обеспечивает безопасное плавание во льдах.

(В это время на компьютере заставка – рисунок № 1).

V. Обсуждая успехи своего ученика, учитель так отозвался о нем: "Он очень мало знает, но у него положительная производная".

Учитель хотел сказать, что скорость приращения знаний у ученика положительная, а это есть залог того, что знания возрастут.

- Что означают эти кривые роста знаний?

IV. Этап информации учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению основные требования к домашнему заданию.

• Домашнее задание может быть ориентировано на 2-3 группы учащихся: слабые + средние и средние + сильные, сильные.
• Должен быть определен обязательный минимум выполнения + выделено пространство для инициативных:

Разноуровневое домашнее задание.

На «5».

Задача 1. Из пункта А по двум лучам, угол между которыми 60^о, движутся два тела: первое – равномерно со V = 5 км/ч, второе – по закону S(t) = 2t² + t. С какой скоростью они удалятся друг от друга? (S – измеряется в километрах, t – в секундах.)

Задача 2. Точка движется по – прямой так, что ее скорость в момент времени t равна V(t) = t² – t + 1. известно, что в начальный момент времени t = 0 точка имеет координату (-1). Найти координату и ускорение точки в момент времени t.

На «4».

Задача 1. По прямой движутся две материальные точки по законам x₁(t) = 4t² – 5 и x₂(t) = t⁴. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Задача 2. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону x(t) = 2t² + t + 5, координата x измеряется в сантиметрах, время t – в секундах. Найти кинетическую энергию Е тела через 3 сек. после начала движения.

На «3».

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² – 4t + 3. Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t.

Задача 2. Точка движется по закону x(t) = t³ + 1. Найти ускорение в момент времени t = 1c

Литература:

1. А.Н. Колмогоров, Алгебра и начала анализа 10-11кл.
2. Н-М журнал, физика в школе №4, 2009г.
3. Приложение к газете Первое сентября, 2008. «Производная в физике и технике».

Презентация