Подготовка к ЕГЭ и предметным олимпиадам

Овладение любой современной профессией требует определенных математических знаний. Представление о роли математики в современном мире, математические знания стали необходимым компонентом общей культуры. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в информационном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.

Роль и место математики в науке и жизнедеятельности общества, ценность математического образования, понимание предмета математики, структура личности обучающегося обуславливает цели математического образования. Выделяют три группы целей, соотнося их с общеобразовательными, воспитательными и практическими функциями. Олимпиады являются одной из наиболее массовых форм внеурочной работы по математике.

Целями проведения математических олимпиад являются:

• расширение кругозора учащихся;
• развитие интереса учащихся к изучению математики;
• повышение математической культуры, интеллектуального уровня учащихся;
• выявление учащихся, способных к математике, для организации индивидуальной работы с ними.

Олимпиады готовят учащихся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции. Умение решать задачи, особенно олимпиадные, всегда являлось одним из показателей математической одаренности ученика.

Сегодня по итогам олимпиад оценивают итоги внешкольной работы по математике.

В настоящее время на основе закона «Об образовании» победы учащихся на олимпиадах международного и всероссийского уровней являются достаточным основанием для зачисления в ВУЗ без экзаменов, а выдающиеся результаты, показанные в мероприятиях системы дополнительного образования – для приема в ВУЗ вне конкурса.

Школа сегодня уже не является монопольным источником информации, знаний, умственного развития учащихся. В частности, большой вклад в их обучение вносит система дополнительного образования детей. Поэтому результаты, достигаемые учащимися в мероприятиях, проводимых в данной системе, должны учитываться при определении перспектив дальнейшего обучения.

Остановимся подробнее на основных моментах, имеющих непосредственное отношение к основным формам подготовки учащихся к олимпиадам.

Работа учителя на уроке

Решение олимпиадных задач, связанных с темой урока.

Рассмотрим примеры подобного рода задач.

1. Вычислить:

а) 90+89+88+…+1+0-1-2-…-90-91-92-93.

б) 1-2+3-4+5-6+…+2005-2006.

Если выполнять действия по порядку, на это потребуется очень много времени. А время на олимпиадах очень ценно. Поэтому ученик, нашедший быстрое решение этих и подобных заданий, сэкономит время на решение других задач. На уроке данные задачи можно предложить при изучении темы «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел».

2. При изучении темы «Степень с натуральным показателем» можно предложить для решения следующие типы задач:

а) Сравните: 65²³ и 255¹⁷.

б) На какую цифру оканчивается число 2009²⁰¹⁰?

Рассмотрим решение данных задач:

а) 65²³>64²³ = (26)²³ = 2¹³⁸

255¹⁷<256¹⁷ = (28)¹⁷ = 2¹³⁶.

Следовательно, 65²³>2¹³⁸ → 2¹³⁸>2¹³⁶ → 2¹³⁶>255¹⁷ → 65²³>255¹⁷.

б) Так как последняя цифра числа 2009²⁰¹⁰ определяется последней цифрой числа 9²⁰¹⁰, то заметим, что 9²⁰¹⁰ = (9²)¹⁰⁰⁵. 9² оканчивается на 1, значит и число 2009²⁰¹⁰ оканчивается на цифру 1.

3. При изучении квадратных уравнений можно предложить такую задачу:

Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 2006? А 2008?

Решение: У квадратного уравнения ax²+bx+c = 0 , где a, b,c ∈ Z, дискриминант D=b²-4ac. Найдем целые решения уравнения b²-4ac = 2006. Так как первая часть уравнения кратна 2, то и левая часть кратна 2, поэтому b = 2k, тогда 4k²-4ac=2006. Разделив обе части уравнения на 2, получим: 2k-2ac = 1003. В левой части уравнения получилось четное число, а в правой – нечетное, поэтому уравнение решений в целых числах не имеет.

Для числа 2008 имеем: b² – 4ac = 2008. А так как b = 2k, то получим: 4k² – 4ac = 2008. Разделив обе части на 4, получим: k² – ac = 502. Данное уравнение имеет решения в целых числах, например: a=1, c=27, k=23. Уравнение x²+46x+27 = 0 имеет дискриминант D = 2116 – 4*1*27 = 2008.

4. При решении текстовых  задач можно предлагать учащимся задачи, которые были на олимпиадах  различного уровня.

Одну овцу лев съел за 2 дня, волк – за 3 дня, собака – за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?

Решение: 1) если лев съел овцу за 2 дня, то за 1 день он съел 1/2 овцы.

2) если волк съел овцу за 3 дня, то за 1 день он съел 1/3 овцы.

3) если собака съела овцу за 6 дней, то за 1 день она съела 1/6 овцы.

4) вместе лев, волк и собака за 1 день съедят 1/2 +1/3 +1/6 = 1, то есть одну овцу.

Решение задач на гибкость ума.

Для развития гибкости ума необходимо:

• применять упражнения, в которых встречаются взаимно обратные операции;
• решать задачи несколькими способами;
• применять переформулировки задач;
• учить переключению с прямого хода мыслей на обратный и т.д.

Например:

• Дано 5 спичек. Сложите из них два равносторонних треугольника. А если спичек будет 6, сколько равносторонних треугольников можно сложить?
• Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов? А смежных углов?
• У двух зрячих один брат слепой, но у слепого нет зрячих братьев. Как это может быть?
• Два человека подошли одновременно к реке. У берега реки стояла лодка (лишь для одного человека). Однако оба сумели переправиться через речку в одной лодке. Каким образом?

Для развития глубины ума надо учить:

• выделять главное в задании,
• выделять существенные признаки понятия,
• выделять ведущие закономерности,
• отделять главное от второстепенного.

Например:

• Является ли последовательность вида 3, 3, 3, … арифметической прогрессией? А геометрической?
• Подчеркните наиболее общее понятие: медиана, отрезок, хорда, средняя линия треугольника.
• Выделите основное соотношение в задаче: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 660 км. Через 4 ч они встретились. Найдите скорость каждого поезда, если скорость одного на 15 км/ч больше скорости другого».
• Вася живет на пятом этаже 12-этажного дома. Он решил покататься на лифте. Сначала он поднялся на 2 этажа, потом опустился на 4 этажа, потом поднялся на 6 этажей, потом спустился на 10 этажей, потом вновь поднялся на 3 этажа. На каком этаже в итоге оказался Вася?
• Верно ли утверждение, что два равных треугольника являются подобными?
• Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на 4 части. Карлсон взял себе самую маленькую и самую большую части, а остальные две отдал Малышу. Кому торта досталось не меньше половины?

Между приемами умственной деятельности и качествами ума есть связь. Освоение некоторых приемов умственной деятельности способствует развитию определенных качеств ума. В качестве одного из возможных приемов можно применить и создание и использование тренажеров и тестирования на персональном компьютере.

В качестве примера такого тренажера нами предложена презентация «Подготовка к ЕГЭ и предметным олимпиадам», состоящая из двух частей. В первой части предложены олимпиадные задания, во второй части задания, составленные на базе демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2010 года.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности.  Задания Демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов и система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике. Для этого составляются промежуточные, тренировочные и итоговые тесты по результатам прохождения, которых принимается решение: усвоил обучающийся определенный блок знаний или нет.

При этом желательно, чтобы тесты обладали следующими свойствами:

• адекватностью результатов тестирования истинным знаниям обучаемого;
• полнотой (тест должен обеспечивать полное покрытие предметной области),
• минимальностью по количеству вопросов;
• уникальностью по последовательности вопросов для каждого прохождения теста.

Построение теста:

Предполагается, что тест строится для достаточно замкнутой области знаний. Практически все учебные дисциплины обладают этим свойством. Тестирование обучающихся должно обеспечивать проверку усвоения определенных знаний или овладения конкретными навыками.

На 1 этапе построения теста проводится “инвентаризация” знаний. Выделяются:

• предварительные знания или навыки, которыми студент должен овладеть для изучения нового курса;
• знания или навыки, которые должен усвоить студент по курсу.
• контрольные знания или навыки, усвоение которых наиболее важно при изучении дисциплины с точки зрения преподавателя.

2-й этап связан с выбором наиболее подходящей модели знаний для данной предметной области. Как правило, если изучаемый курс связан с обучением решению каких-либо задач, то удобнее использовать продукционную модель (система продукций – правил типа если..., то..., то есть в зависимости от опознанной ситуации выполняется последовательность действий). В левой части правил могут присутствовать только усвоенные знания.

На 3 этапе анализируется модель знаний. В исключительных случаях модель знаний представляет собой набор несвязных между собой сегментов (фреймов, правил и т.д.), тогда будет получен простейший “одноуровневый тест”. В случае большинства дисциплин знания основываются на знаниях и из них можно вывести другие знания. Такие модели позволяют построить “иерархические” тесты.

В результате анализа модели знаний строится ориентированный граф предметной области. Вершинами графа являются ТЕМЫ – названия групп продукционных правил или фреймов верхнего уровня.

4 этап – составление вопросов теста. Для построения промежуточных тестов вопросы формулируются по каждой группе продукций или по каждому фрейму верхнего уровня. Для итоговых тестов берутся ТЕМЫ, знания по которым нет в знаниях по другим ТЕМАМ. Это позволит снизить количество вопросов, а следовательно и время прохождения теста, в среднем вдвое при сохранении тех же резуль­татов тестирования.

Для повышения адекватности тестирования водится блок вопросов по предварительным знаниям, без которых невозможно изучение дисциплины (если обучаемый не владеет предварительными знаниями, дальнейшее прохождение теста не имеет смысла), а так же блок с вопросами по контрольным знаниям, которые учащийся должен обязательно усвоить.

Содержание тестовых заданий для контроля усвоения знаний определяется в первую очередь учебной программой, которая составляется в соответствии с государственным образовательным стандартом. Автор должен определить наиболее существенные, важные, характерные понятия и определения курса для проверки понимания которых и будут сформулированы тестовые задания. Вопросы “на понимание” эффективнее, чем вопросы “на запоминание”, т.е. вопрос на который нет прямого ответа в тексте (заставит студента перечитать материал более вдумчиво).

Возможные формы тестовых заданий:

1. закрытая (в т.ч. задания с несколькими вариантами выбора и альтернативные задания);
2. открытая;
3. на установление соответствия;
4. на установление правильной последовательности.

1. Закрытые задания состоят из 2 частей:

– основной части, содержащей утверждение или вопрос;

– вариантов выбора, или некоторого количества возможных ответов из которых тестируемый должен выбрать правильный ответ (если только два варианта выбора – “да” и “нет”, то задание альтернативное). Недопустима такая формулировка закрытого задания, когда для правильного его решения необходимо отметить все варианты ответов. И неприемлемо, если среди перечисленных вариантов ответов нет ни одного правильного.

2. Задания в открытой форме требуют ответа, сформулированного самим обучаемым. Подразделяются на задания со свободным (произвольным) ответом и на задания с ограничениями на ответ. Задания со свободными ответами для компьютерного тестирования малопригодны. Можно включить, несколько заданий (практических ситуаций, итоговых контрольных заданий, рефератов), требующих развернутого ответа студента. Эти ответы должны быть проанализированы преподавателем “вручную” и учтены при формировании итоговой оценки.

Ограничения к открытым заданиям:

• по количеству слов в ответе;
• по характеру вводимой информации (численная или текстовая);
• в формате ввода ответа (например, в каком формате должны быть введены дробные числа и с какой точностью).

3. В заданиях на установление соответствия в традиционной форме испытуемому представляются две группы элементов и ему необходимо связать каждый элемент первой группы с одним или несколькими элементами второй, (при этом количество элементов во второй группе должно быть не меньше, чем в первой (на 2-3 больше).

4. В заданиях на установление правильной последовательности  требуется определить порядок следования (по возрастанию, убыванию и т.п.) предложенных объектов (символов, формул, слов, рисунков).

Базовые требования к содержанию тестов:

• соответствие квалификационным требованиям, профессиям и должностям;
• преемственность по отношению к государственным образовательным стандартам:
• ориентация на высокие технологии обучения.

Примеры заданий тренажера по подготовке к ЕГЭ:

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием  ABC известны ребра: AB = 8√3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS  и BC.

Решение:

1) Пусть К и М – середины  SA и BC соответственно. Построим  высоту пирамиды SO. Так как пирамида правильная, то O ∈ АМ (АМ-медиана, высота и биссектриса). Построим KH || SO, получим KH – перпендикуляр к плоскости основания, а значит и к прямой АМ.

2) Точка Н – проекция точки К на плоскость основания.

Прямая МН – проекция  прямой  МК на плоскость (АВС), поэтому  угол между прямой  МК и плоскостью основания равен углу KMH.

3) СМ = МВ =  4√3.

4) АМ = = 12

МО = 1/3,  АМ = 4, так как точка О – центр треугольника АВС, а значит точка пересечения медиан.

5) SM =

6) SO = = 15. 

7) В треугольнике SOА  КН – средняя линия, по теореме Фалеса, значит OH = HA = 4, КН = 1/2SO = 15/2. MH = 8. Из треугольника МКН  tg M =

∠KMH = arctg(15/16).

Ответ: arctg(15/16).

2. Решите неравенство:

Решение:

Проанализируем неравенство.

1) Функция вида y = 7^x возрастающая,

если х<0, то 0< 7^x<1,

если х>0, то 7^x>1.

2) x²≥0  → -x²≤0.

3) Пусть t = , 0<t≤1, то .

t - 6 < 0

Поэтому 7⁹ ∙ t - 1 < 0, т.е. 0 < t < (1/7⁹).

Получаем,

Имеем: 0 < < (1/7⁹) ⇔ < 7^-9 ⇔ -x ² < -9 ⇔ x ² > 9 ⇔ │x│> 3.

Или x ∈(-∞;-3) U (3; +∞).

При подготовке к олимпиаде и ЕГЭ, безусловно, необходимы задачи направленные на отработку того или иного математического навыка, но более необходимо решать задачи, направленные на воспитание учащихся устойчивые интересные математике, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способом самостоятельной деятельности, общим приемом решения задач. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач с помощью специально подобранных упражнений, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо привить учащимся навыки не только логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.

Литература:

1. Н.П. Кострикина «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9». Москва, «Просвещения» 1991 г.
2. М.А. Аголахов «Математические олимпиады школьников 9 класс». Москва, «Просвещения» 1997 г.
3. Интернет ресурсы.
4. А.В. Фарков «Как готовить учащихся к математическим олимпиадам».