С целью популяризации математики среди
населения нашего района, в том числе и
школьников, я организовал конкурс по решению
занимательных задач. Вместе с журналистами
районной газеты «Заря» конкурс назвали
«Головоломки от «ЗАРИ», но прижилось более
упрощенное – «Головоломка».
Конкурс «Головоломка» продолжался несколько
лет. Накопился большой задачный материал. Среди
этих задач встречаются весьма оригинальные.
Некоторые из них публиковались в центральной
периодической печати, ряд задач предлагались на
математических олимпиадах школьников.
Ввиду жестких требований к оформлению материалов в фестивале «Открытый урок», газетный материал значительно отредактирован, объём уменьшен почти вдвое, но и в таком урезанном виде он передает основную цель проекта – популяризацию математики, занятий полезным досугом, привлечение школьников к решению математических задач.
А теперь предлагаю познакомиться с содержанием самого газетного конкурса.
Конкурс «Головоломка»
Всем читателям газеты «Заря», любителям
занимательной математики предлагаем принять
участие в конкурсе по решению математических
головоломок. Надеемся, что вместе со взрослыми
активное участие в конкурсе примут юные,
пытливые умы – учащиеся школ района. Уровень
сложности задач позволит им это сделать.
Конкурс пройдет в 5 туров, по три задачи в каждом.
Вместе с ответами на задачи участники должны
сообщить фамилию, имя, отчество, домашний адрес,
возраст ирод занятий.
При определении победителей по итогам всех туров
будут учитываться: количество правильно
решенных задач, полнота решения задачи.
Победители конкурса награждаются дипломами и
памятными подарками. За первое место будет
вручена головоломка «Причеши ежа» – модификация
известного всему миру кубика Э. Рубика.
Срок отправки ответов не позднее 20 дней после
публикации задания. Ответы присылайте в редакцию
газеты «Заря», с пометкой на конкурс
«Головоломка».
Задания первого тура
1. Заполните пустые клетки квадрата буквами 3, А, Р, Я так, чтобы в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном рядах и в диагоналях квадрата каждая буква встречалась один раз.
2. Постройте замкнутый обход шахматным конем всех клеток доски, изображенной на рисунке, не заходя в одну и ту же клетку дважды.
3. В кружки фигуры впишите числа от 1 до 9 так, чтобы сумма четырех чисел, расположенных в кружках-вершинах всех квадратов (их 6), была равна 20.
Итоги первого тура
Закончился первый тур конкурса любителей
занимательной математики – «ГОЛОВОЛОМКА».
Предложив желающим принять участие в этом
состязании, жюри конкурса даже не предполагало,
что столько наших читателей разных возрастов: и
школьников, и вполне солидных людей –
заинтересуются решением, на первый взгляд
простых, но очень интересных задач.
Уже в первые дни после публикации в редакцию,
прямо скажем, сплошным потоком стали приходить
письма участников конкурса, что было для нас
приятной неожиданностью. За прошедшую неделю
поступило более 40 таких писем. Ни одна из рубрик
газеты не может сравниться с конкурсом
«Головоломка» по числу поступающей
корреспонденции.
Одними из первых прислали варианты
своего решения задач учащиеся школ района Г.
Зубрилин, О. Зубкова, В. Чередниченко, О.
Малышенко, Г. Бессонова, А. Белецкий, А.
Бондаренко, С. Иванченко, Д. Ютин, члены
математического кружка пятых классов Егорлыксой
СОШ № 7, инженеры С.А. Кириченко, Н.Г. Федоров,
электрик В.М. Мельников, главный врач центральной
районной больницы В. Д. Кучма с сыном Романом,
учеником 6 класса Егорлыкской СОШ № 7,
механизаторы Е.Г. Кулявцев, Н.Д. Лященко, А.А.
Маслов, домохозяйка Т.П. Гокова, учащийся
Ростовского автодорожного техникума А. Сергеев,
воспитательница детского сада О.Н. Бондаренко,
учащийся Новошахтинского колледжа А. Москвитин и
многие другие наши читатели в возрасте
от 10 до 65 лет.
Ученица 7 «а» класса Кавалерской СОШ №3 Оля
Малышенко пишет: «Я решила принять
участие в конкурсе «Головоломка». Люблю
математику, особенно геометрию».
А отец, мать, сын и дочь – вся семья
Кумпан из хутора Кавалерский так
отозвались на наше приглашение принять участие в
конкурсе: «Прочитав в газете о «Головоломке»,
весь субботний вечер, 7 декабря, мы вели горячие
споры. Шло настоящее соревнование по решению
каждой задачи. Кто быстрее, ближе к истине и
больше вариантов предложит».
В первом туре конкурса любителей занимательной
математики – «Головоломка» приняли участие
более 50 наших читателей.
А теперь обзор решений заданий первого тура.
Задача 1 имеет два решения, в левом
нижнем углу квадрата можно написать либо букву А,
либо Р, а, следовательно, возможны два варианта
решений.
Большинство участников указали лишь один
вариант. Им начислено по 1 очку. 11 участников
прислали оба решения. Им засчитано по 1,2 очка.
Это ученица Роговской СОШ №4 Галя Бессонова,
учащиеся Куго-Ейской СОШ №5 Сергей и Владимир
Иванченко, Анжела Пахомова, Наташа Дюба, ученик
пятого класса Егорлыкской СОШ № 7 Дима Ютин,
учащийся Новошахтинского колледжа Александр
Москвитин, семья Кумпан из хутора Кавалерский,
житель станицы Егорлыкской Александр Головко,
ветеран педагогического труда В.М. Битков и
учитель Новороговской СОШ №2 А.П. Воронков.
Самой трудной задачей первого тура оказалась
задача 2. Полностью с ней справились
только пять участников. Среди них ученик шестого
класса Егорлыкской СОШ № 7 Сергей Капустин,
электрик Ю.И. Гусаков и машинист башенного крана
В.Ф. Канцедалов, ветеран педагогического труда
В.М. Битков из станицы Егорлыкской и Н.Г. Федоров,
инженер сельхозпредприятия « Рассвет». Они
получили по одному очку.
Весьма оригинальное, но простое и красивое
решение этой задачи прислал инженер Федоров. Он
заметил, что фигуру можно разделить на четыре
равные части. Сделав конём замкнутый обход на
одной части, он объединил их в единый замкнутый
обход коня по всем клеткам многоугольника. За
находчивость в решении задачи Николаю
Гавриловичу дополнительно зачтено 0,1 очка.
Задача 3 имеет единственное решение. Большинство участников справились с ней успешно. Наиболее обстоятельный ответ прислал учитель Новороговской СОШ № 2 А.П. Воронков, за что получил дополнительно 0,1 очка.
Таким образом, лидерами первого тура нашего конкурса, решившими все три задачи, стали: жители станицы Егорлыкской В.М. Битков, Ю.И.Гусаков, В.Ф. Канцедалов, инженер из сельхозпредприятия « Рассвет» Н.Г.Федоров и ученик шестого класса Егорлыкской СОШ № 7 Сергей Капустин.
Вместе с решением задач первого тура члены математического кружка (руководитель Г.Г. Опрышко) из Егорлыкской СОШ №7 прислали свою задачу, которую предлагают включить в конкурс. Свои задачи предложили и другие участники конкурса.
Жюри конкурса считает возможным один из туров составить полностью из задач, предложенных нашими читателями. Так что предлагайте интересные задачи из занимательной математики, а ещё лучше придумывайте свои!
Задания второго тура
4. В квадраты расставьте числа от 1 до 16, а в кружки знаки +, –, ·, : так, чтобы получилось восемь верных равенств.
5. На рисунке изображена елочка. Разрежьте ее на пять частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
6. В зашифрованном тексте «ШЪУЯЪТ ЛНПЪИРЭ Э СРЭРТ ЬРЫЛ» каждая буква заменена буквой русского алфавита по закону, связанному с одним из понятий геометрии. Установите этот закон и расшифруйте текст. Например, слово ТАЗ расшифровывается как слово МЯЧ.
Итоги второго тура
Прежде всего, следует сказать, что количество
участников нашего конкурса увеличилось еще
почти на два десятка человек. Публикуем ответы на
задачи второго тура.
Задачу 4 придумал и решил мой сын Авилов Максим,
ученик 4 класса. Курсант военно-инженерного
института имени А.Ф. Можайского, наш земляк
Владимир Тимченко указал восемь решений этой
задачи. Вырезку с заданиями нашего конкурса
ему высылают его родители.
Для тех, кто не справился с этой задачей, приводим
решение, которое нашла ученица 7 класса
Кавалерской СОШ №3 Оля Малышенко.
Трудной оказалась задача 5. Полностью с ней справились лишь два участника. На рисунке показано авторское поэтапное прeвращение елочки в квадрат. Сначала у нее срезается «верхушка» и она превращается в прямоугольник, затем отмечаются отрезки АВ и СD, равные стороне будущего квадрата, и производится еще два разреза. В результате получаем пять частей, из которых складывается квадрат АВСD.
Преподаватель математики из Новошахтинска А.М.
Домашенко пишет: «Задача о елочке буквально не
давала мне покоя (за что выражаю свою
признательность её автору)». После «долгих
размышлений» ему удалось улучшить авторское
решение задачи, найдя более экономное разрезание
– всего на четыре части. Этим он приятно удивил
членов жюри.
Вот как А.М. Домашенко удалось разрезать елочку
на 4 части: «Из центра елочки (точка О) проводится
окружность радиусом 2 см. Из точки М проводится
окружность радиусом 
. Точка А пересечения этих окружностей
является первой вершиной квадрата. Соединив ее с
точками М и N и продолжив прямые дальше,
отметим точки В и D так, что ВМ = АМ и АD = АВ. Из
точки N проводим окружность радиусом ND и отмечаем
на отрезке АD точку К. Восстанавливаем
перпендикуляр KF и достраиваем квадрат АВСD.
Осталось разрезать елочку и сложить квадрат».
Поздравляем Александра Михайловича с таким
виртуозным разрезанием елочки.
Задача 6 решена всеми участниками второго тура. Здесь была зашифрована фраза: «Желаем успеха в Новом году». По поводу решения этой задачи пятиклассник Дима Ютин из станицы Егорлыкской написал: «При расшифровке я применял симметрию. Центр симметрии – буква «П». Каждая буква заменяется буквой, симметричной относительно центра русского алфавита, выписанного в одну строчку». А семья Кумпан из хутора Кавалерка, решив задачу, ответила нам так: НПЯНЦЮР ЧЯ ПРШЪУЯСЦА, то есть – «Спасибо за пожелания».
Задания третьего тура
7. Четырёхзначное число ЗАРЯ – точный квадрат. Кроме этого для его цифр выполняется равенство: З x А x Р x Я = ЗА + РЯ. Найдите число ЗАРЯ, зная, что одинаковыми буквами здесь обозначены одинаковые цифры, разными – разные. (Задачу предложил В.Н. Тимченко).
8. Спичками напишите слово «ЗАРЯ» так, как это сделано на рисунки. Теперь на это слово наложите нитку подходящей длины так, чтобы нитка проходила через каждую спичку, причём только по одному разу. Укажите один из вариантов. (Задачу предложил А.М. Домашенко).
9. В парке на скамейке беседовали группа ребят: Андрей, Борис, Витя, Гена и Дима – учащиеся 6, 7, 8, 9 и 10 классов. Из их разговора удалось установить, что:
1) Андрей дружит с шестиклассником;
2) девятиклассник вместе с Андреем и Борей
посещают математический кружок;
3) Гене и Диме предстоит в этом году сдавать
экзамен;
4) Витя учится в более старшем классе, чем Гена.
Установите, в каком классе учится каждый из этих
мальчиков?
Итоги третьего тура
Закончился третий тур конкурса. Поступающая
корреспонденция подтверждает интерес
к нему. Первым прислал решения задач директор
Роговской СОШ №4А. Г. Князев. Поступили коллективные
ответы от учащихся 5 класса Войновской
восьмилетней школы № 15, семейного дуэта
Рыжкиных.
Подведены итоги третьего этапа математического
конкурса. Задача 7 оказалась «крепким орешком», и
поиск квадратного числа у многих участников
конкурса вызвал затруднения. Условию задачи
удовлетворяют два числа – 1296 и 9216. Автор этой
задачи В. Тимченко пишет: «Не скрою, приятно
видеть свою задачу в числе конкурсных, но все же
задача №5 «Квадрирование ёлочки» понравилась
больше».
С задачей 8 справились практически все участники. На рисунке показан один из способов решения. Верно заметил ученик 9 «Б» класса Егорлыкской СОШ №1 Андрей Левченко: «Хитрость задачи состоит в том, что накладывать нитку нужно начинать с внутренней части буквы «А», заканчивать во внутренней части буквы «Я».
Как следует из почты, задача 9 оказалась наиболее легкой. Она имеет такой ответ: Боря – в шестом классе, Андрей – вседьмом, Гена – в восьмом, Витя – в девятом, Дима – в десятом классе. Ученица Роговской СОШ №4 Махначева Инна доказала, что второе условие лишнее.
Задания четвертого тура
10. Сколько треугольников вы сможете насчитать в фигуре, изображенной на рисунке? (Задачу прислала Галя Тесля, ученица 6 класса Куго-Ейской СОШ № 5. Жюри слегка усложнило ее, добавив внутреннюю звездочку.)
11. Десятикопеечную монету нужно разменять медными монетами (1, 2, 3 и 5 копеек). Сколькими способами это можно сделать?
12. Из полного набора домино (28 косточек), прикладывая косточки друг к другу одинаковыми значениями очков, выложите фигуру, изображенную на рисунке. Достаточно указать одно решение. (Задачу предложил В.К. Тиняков, сторож рыбного хозяйства из хутора Кавалерка).
Членам жюри не удалось решить эту задачу, но и не удалось доказать, что решения не существуют. За решение этой задачи учрежден специальный приз – книга по занимательной математике «В царстве смекалки». Ею будет награжден читатель, первым приславший решение этой задачи в редакцию газеты.
Итоги четвертого тура
В фигуре, приведенной к задаче 10, можно
насчитать 60 различных треугольников.
В задаче 11 монету достоинством 10 копеек можно
разменять медными монетами 20-ю способами. В числе
правильно решивших задачу пятиклассник
Егорлыкской СОШ№7 Дима Ютин.
Задача №12, как и ожидалось, оказалась наиболее трудной. Большинство участников пытались указать конкретное расположение косточек домино. А.М. Домашенко и В.Н. Тимченко с помощью логических рассуждений доказали, что расположить косточки согласно условию задачи невозможно. Они будут награждены книгами по занимательной математике.
Задания пятого тура
13. Из полного комплекта домино (28 косточек) сложен прямоугольник 7 х 8, но на рисунке не обозначены границы костей. Восстановите положение костей. Достаточно указать одно расположение. (Предложил Ю.И. Гусаков, ст. Егорлыкская).
14. Впишите в кружки числа так, чтобы каждое следующее в направлении стрелки число получилось из предыдущего при помощи действия, указанного рядом со стрелкой. (Предложил Э.Э. Рекстин, г. Риги, Латвия).
15. На рисунке приведен пример на умножение. В нем некоторые цифры заменены буквами, а остальные точками, причем, одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные. Определите число ЗАРЯ. (Предложил А.М. Домашенко, г. Новошахтинск).
Внимание! Жюри просит всех участников конкурса, в ответах на задание 5 тура указать одну, наиболее интересную на ваш взгляд из 15 задач нашего конкурса «Головоломка». Таким способом будет выбрана лучшая головоломка конкурса. Автор этой задачи будет награжден специальным призом.
Итоги пятого тура
Как отмечает в своем письме мама и сын Ютины: «Задача 13 оказалась наиболее интересной и неожиданно трудной, возникает много вариантов, отчего перебор становится очень трудным. Но нам удалось».
На рисунке приведен комплект домино с восстановленными границами. Это один из возможных вариантов.
Всего существует 10 вариантов. Это показали в своих ответах В. Тимченко, А. Воронков и А. Домашенко. Они смогли организовать системный перебор вариантов и не упустили ни одного. Вот что значит математическая подготовка. Их ответы оценены в 1,1 балла.
Заметим для справки: впервые головоломки на восстановление границ домино предложил польский кинокритик Л. Пияновский.
Методом проб и ошибок трудно найти решение
задачи 14. Но если одно из чисел этой числовой
карусели обозначить буквой х, то, выражая через х
числа других кружков в направлении стрелок,
нетрудно составить и решить уравнение. Это
уравнение может быть таким, ((х + 1) · 2 · 3 : 4 · 5 : 6 · 7
– 8) : 9 = х, если через х обозначить число самого
верхнего кружка. Корнем этого уравнения является
число 3, поэтому числовая карусель примет вид 3, 4,
8, 24, 6, 30, 5, 35, 27. Расстановка чисел – единственна.
Должен отметить, что эта задача близка к
школьному курсу алгебры, поэтому не случайно
среди правильно решивших её много учащихся.
Среди них: И. Махначева, А. Левченко, В. Гулякин, О.
Малышенко, В. Чередниченко,
Задача 15 по сути – арифметическая, для её решения достаточно знать только правило умножения многозначных чисел. Имеет единственное решение ЗАРЯ = 9376, и оказалась для многих участников совсем не простой.
Итоги конкурса «Головоломка»
Шесть месяцев продолжался конкурс «Головоломка». Подведены его итоги. Называем победителей: А. Домашенко (15,6) – преподаватель из г. Новошахтинск, В. Тимченко (15,5) – военнослужащий, наш земляк, выпускник Егорлыкской СОШ№7, В. Битков (14,2) – ветеран педагогического труда, А. Воронков (12,9) – учитель математики из ст. Новороговской, Ю. Гусаков (12,5) – сварщик из ст. Егорлыкской, В. Гулякин – (12,3), В. Чередниченко – (12,0), А. Москвитин – 11,8, А. Левченко (11,7) – учащиеся учебных заведений, семья Ютиных (11,2) – мама Ольга Ивановна и её сын, пятикласник Дима из ст. Егорлыкской. В скобках указано число набранных баллов.
Недавно в редакции прошло торжественное вручение победителям грамот и призов. Специальный приз, замечательная детская книга «С математикой в путь», вручен Ютину Диме, как самому юному участнику конкурса. Большинством голосов лучшей задачей конкурса признана задача №5 на разрезание «Елочки».
Мнение участников, присылавших свои отзывы о
конкурсе «Головоломка», можно выразить словами
ученика Егорлыкской СОШ №1 Андрея Левченко:
«Спасибо за интересный конкурс. Хочется выразить
пожелание, что и в следующем году «Головоломка»
подарит нам увлекательные задачи, требующие
нестандартного подхода к решению. Уверен, что и в
будущем многие школьники, и не только они,
захотят испытать свои интеллектуальные силы и с
пользой провести свободное время!».
На это надеются и члены жюри конкурса. До
новых встреч!