Обратные предложения. Обучение учащихся построению обратных предложений

Теория и практика методики обучения математике показывают, что учащемуся недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценно усвоения. Требуется ещё видеть и понимать способы организации этого содержания, заложенные в логической структуре изучаемого. Исходя из этого в математическом факте, входящем в состав образовательной области ''математика'', целесообразно выделить предметную и логическую составляющие. Содержание предметной составляющей достаточно долго являлось объектом пристального внимания исследователей в области методики обучения математике. Содержание же логической составляющей в явном виде практически не выделено. Математическое предложение является одним из основных способов представления предметной составляющей. Понимание особенностей построения математического предложения даёт возможность более осознанно усвоить заложенную в нём информацию.

Важнейшая характеристика математического предложения - его истинное значение (исключение, как известно, составляют определения). С этой точки зрения предложения делятся на два вида: высказывание, обязательно истинное или ложное, и высказывательная форма, истинность которой зависит от значения переменных, взятых из некоторого множества. Высказывания и высказывательная формы проявляются в математическом содержании в различных вариантах. Это могут быть предложения естественного языка или символические конструкции - например числовые равенства и неравенства: уравнение и неравенства с переменными.

Математические предложения различаются и по роли в предметном содержании. Рассматриваются в основном три их вида: определения, аксиомы и теоремы. Предложения различных видов могут иметь сходную структуру. Разница - в подходе к их истинности: определения не имеют истинного значения; истинность аксиом принимается без доказательств, истинность теорем доказывается.

Общие и частные предложения - одна из важнейших и самых богатых по содержанию компонент логической составляющей. Основной дидактический потенциал этой логической компоненты заключается в обосновании способов доказательства и опровержения утверждений общего и частного характера: правомерность использования примеров (контрпримеров) для аргументации, необходимость проведения рассуждений в общем виде.

Глава 1. Обратные предложения и их роль в математическом образовании.

1.1. Метод взаимно обратных задач.

Задачи обучения математике в средней школе разнообразны. Закономерно встаёт вопрос: какими должны быть методические пути и приёмы обучения, какое предметное содержание нужно отбирать для уроков, чтобы оптимально подойти к достижению поставленных целей? Одним из таких путей является использование метода взаимно обратных задач. Под этим методом следует понимать применение комплекса заданий: составление к данной теореме обратного утверждения (или всех возможных обратных утверждений) и проверку его истинности; использования утверждения данной теоремы при доказательстве обратной; выполнение некоторого действия взаимно обратными способами; параллельное выделение свойств понятий и их признаков и т.д.

Одним из важных следствий применения указанного метода является активизация учебно-познавательной деятельности учащихся, которым предоставляется возможность самостоятельно формулировать теоремы, составлять задачи, находить их решения, исследовать нестандартные ситуации. Использование метода взаимно обратных задач позволяет интенсифицировать деятельность учащихся, в то время как в практике обучения часто используется экстенсивный путь: стараются решать как можно больше задач, не вдаваясь в глубокое исследование каждой из них. Между тем опыт свидетельствует о том, что целесообразнее вместо двух разных задач решить две взаимно обратных задачи, вместо двух разных теорем доказать две взаимно обратных теоремы, что обогатит мыслительную деятельность учащихся новыми приемами, способами действий. Получается и выигрыш во времени: ученики работают с одними и теми же отношениями и объектами условия и заключения: чертёж тоже может быть один и тот же. Приёмы, составляющие метод взаимно обратных задач, позволяют осуществлять индивидуализацию обучения, дифференцированный подход к ученикам. Деятельность учащихся приобретает творческий характер: приходится самостоятельно выдвигать гипотезы и проверять их на правдоподобность; опровергать неверные утверждения, приводить контрпримеры. При этом знания становятся глубже и прочнее. Развивается логическое мышление.

Содержание школьного курса математики позволяет в полной мере использовать метод взаимно обратных задач. Так, в геометрии вводится понятие обратной теоремы. Кроме того, в учебнике имеются задания сформулировать и доказать теоремы, обратные утверждениям некоторых задач. Всё это говорит о том, что в обучении геометрии методу взаимно обратных задач должно уделяться достаточное внимание.

1.2. Логическая структура сложного предложения.

Логическая структура сложного предложения является одной из важнейших компонент логической составляющей математического материала. Наиболее распространены в математических текстах такие формы связи, как конъюнктивная ("и"), дизъюнктивная ("или"), импликативная ("если,..., то:"), а так же отрицание. Понимание этого обстоятельства, знание основных форм логической организации текста могут существенно облегчить обучаемым сознательное усвоение содержания данного текста. В качестве примера можно привести решение традиционной проблемы выбора между пересечением и объединением промежутков при решении системы либо совокупности уравнений или неравенств. Трудности выбора практически исчезают, если актуализировать логический смысл союзов "и" и "или". Союз "и" означает конъюнкцию, которой является система уравнений или неравенств, а союз ''или'' символизирует их дизъюнкцию (совокупность).

Логическая структура предложения часто бывает скрыта. Для того чтобы её выделить, следует переформулировать предложение. Примером может служить стандартный текст геометрической теоремы, допустим: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В этом случае переформулировка также приводит к импликативной структуре: если треугольник равнобедренный, то в нём углы при основании равны.

В результате становится лучше видно, что дано и что требуется доказать, на какие исходные утверждения опирается вывод.

Появляется также возможность осознанно различать взаимно обратные утверждения.

Структура теоремы. Обратные предложения.

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой (от греческого слова theorema - рассматриваю, обдумываю). Во всякой теореме можно выделить разъяснительную часть, условие и заключение. Разъяснительная часть выделяется путём установления объектов и отношений, на которых заданы условие и заключение. Её можно изменять в некоторых пределах за счёт условия.

Итак, структуру теоремы представляем следующим образом: PI "если А, то В", где P означает разъяснительную часть, А - условие, а В - заключение теоремы.

Теорему, обратную данной, принято определять следующим образом. Если данная теорема сформулирована в виде условного предложения ''если А, то В'', то обратной называется теорема ''если В, то А'', т.е. такая, у которой условием является заключение первой теоремы, а заключением - её же условие.

Глава 2 Построение обратных предложений.

2.1. Получение обратных предложений.

Необходимо формировать у школьников приёмы выделения условия и заключения теоремы (или задачи на доказательство), учить их формулировать встречающиеся утверждения в виде ''если..., то...''. Формирование этого приёма происходит при решение задач, хотя сам приём зачастую не осознаётся. Когда же выделение условия и заключения является необходимым этапом на пути к получению обратного предложения, то внимание учащихся фиксируется на нём целенаправленно. После того, как выделены условие и заключение теоремы, легко сформулировать обратное предложение

Пример. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Здесь условие теоремы: р - четырёхугольник - параллелограмм, диагонали его пересекаются; заключение теоремы: q - точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам. Чтобы легче выделить условие и заключение теоремы её часто формулируют в виде импликации, применяя логический союз ''если:, то:''. Если четырёхугольник - параллелограмм и диагонали его пересекаются, то в точке пересечения они делятся пополам. Известно, что, имея некоторую теорему (p => q), назовём её прямой теоремой, можно образовать новую теорему и не одну:

обратную: q => p;

противоположную:

обратную противоположной: .

Проиллюстрируем эти виды теорем на примере.

• если четырёхугольник параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам (p => q)
• если в четырёхугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм (q => p)
• если четырёхугольник не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам ()
• если в четырёхугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такай четырёхугольник не параллелограмм ().

В данной иллюстрации все четыре теоремы истины, в чём можно легко убедиться, проведя их доказательство. Однако так бывает не всегда. Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь, именно:

а) (p => q) и () - одновременно И или Л;

б) (q => p) и () - также одновременно истины и ложны.

Каждую из этих эквивалентностей нетрудно обосновать с помощью таблицы истинности. Так, например, для второй эквивалентности имеем:

Взаимная связь теорем значительно облегчает практику их изучения. Вот почему в любом курсе математики нам встречаются обычно лишь прямая и обратная теоремы, а остальные теоремы встречаются редко.

Обратные теоремы могут быть неверными.

Обратные теоремы так же, как и прямые, могут быть как верны, так и не верны. Поэтому справедливость обратных теорем (как и прямых) подлежит доказательству.

Верна или не верна обратная теорема, часто зависит от того, как мы эту обратную теорему сформулируем.

Возьмём, например, теорему: "диагонали ромба взаимно перпендикулярны". Если обратную теорему сформулировать так: "четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб", то эта теорема окажется неверной. Если же сформулировать её так: "параллелограмм диагонали, которого взаимно перпендикулярны, есть ромб", то она окажется верной.

Итак, обратную теорему мы можем строить двояким образом: или взять в качестве заключения в обратной теореме все условия, накладываемые на объект в прямой теореме, а условием обратной теоремы сделать только одно заключение прямой, или взять в качестве заключения обратной теоремы только часть условий, накладываемых на объект в прямой теореме, а остальную часть условий прямой теоремы вместе с её заключением сделать условием обратной теоремы.

Чтобы у школьников не сложилось представление, будто все обратные предложения верны, необходимо подбирать и такие задачи, обратное утверждение к которым оказывалось бы неверным. Например, задача.

Докажите, что у равных треугольников АВС и А1 В1 С1 медианы, проведенные из вершин А и А1, равны.

Обратное утверждение: если медианы, проведённые из вершины А и А1 треугольников АВС и А1 В1 С1 равны, то эти треугольники равны.

Оно неверно. Контрпример к этому утверждению - рисунок.

Ученикам нужно давать задания, чтобы выполняя их, они самостоятельно убеждались в том, что некоторые обратные предложения неверны.

Условие теорем (задач) может состоять из нескольких частных условий (все они должны быть четко выделены, в противном случае поиск доказательства будет затруднён). Обратными предложениями для таких теорем также считают те, которые получаются путём замены одного или нескольких условий заключением. Иными словами, если прямая теорема имеет, например, вид "А и В, и С, то D", где А В, С и D - некоторые суждения, то обратными ей являются предложения: "если D, то А и В и С", " если А и D, то В и С", "если B и D, то А и С", "если D и В, и С, то А", "если А и D, и С, то В" и т.д.

Таким образом, если условие прямой теоремы сложное, то можно сформулировать несколько обратных предложений: некоторые из них (или все) могут оказаться ложными.

Если требуется показать, что предложение "если А, то В" неверно, достаточно доказать возможность одновременного выполнения условий А и не В, это значит - найти объект, для которого имеет место условие А, но не выполняется В.

Теоремы, имеющие сложное заключение.

Большую дидактическую ценность представляют теоремы, имеющие сложное заключение из нескольких суждений, т.е. теоремы вида "если А, то В1 и В2, и В3,..., Вn". Обратное предложение будет иметь такой вид: "если В1 и В2, и В3,..., и Вn, то А". Однако может оказаться, что условие в нём избыточно. Поэтому перед учениками ставится задача: среди В1, В2, В3,...,Вn найти минимальную группу таких условий, из наличия которых будет следовать А. При выполнении задания ученик должен уметь строить контрпримеры. Без этого его работа будет малоэффективной. Например, может оказаться, что выбранная группа условий не является достаточной для А, поэтому попытки вывести А из этой группы, как следствие, к успеху не приведут. Значит, ученик должен построить контрпример.

Подобные теоремы, по существу, есть не что иное, как совокупность нескольких теорем с одинаковыми условиями. Сконструировать такую теорему можно, предложив ученикам назвать, например, свойства параллелограмма.

Пусть получим следующее: "Если четырёхугольник АВСD - параллелограмм (О - точка пересечения диагоналей), то 1. АВ = CD; 2. ВС = AD; 3. АО =ОС; 4.BC//AD; 5.LA + LD =180; 6. LA = LC; 7. треугольник ABC равен треугольнику CDA; 8. LOBC = LODA"

Из приведенных восьми условий ученики выбирают группу таких, из которых будет следовать, что четырёхугольник АВСD является параллелограммом. Попутно они строят контрпримеры к некоторым группам условий (из 1 - 8).

При доказательстве обратных теорем большую помощь могут оказать исходные (прямые) предложения.

Заключение.

Выполняя различные задания, о которых говорилось выше, школьники приобретают умение синтезировать условия для получения необходимого результата, самостоятельно конструируют новые для себя теоремы, учатся отделять условие от заключения, не создавать порочный круг в доказательстве, пользуясь ещё недоказанным свойством как условием.

Такие задания, как показывает практика, прекрасно активизируют познавательную деятельность школьников. Строя контрпример, он всякий раз должен учиться исследовать достаточность взятых условий на правдоподобие. Его деятельность приобретает продуктивный, творческий характер.

Список литературы.

1. Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы М. Наука 1972 г.
2. Погорелов А.В. Геометрия 7 - 11. М. Просвещение
3. Атанасян Л.С. Геометрия 7 - 9. М. Просвещение
4. Цукарь А.Я. Метод взаимно обратных задач в обучении математике. Н.,"Наука"., 1989 г.
5. ж/л Математика в школе № 2, 2003 г.
6. Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика М.,"Просвещение", 1980 г.