Урок алгебры в 9-м классе по теме "Тригонометрические формулы и приемы их запоминания"

Цель урока: познакомить учащихся с мнемоническими правилами для запоминания формул приведения и значений тригонометрических функций некоторых углов; способствовать развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы;
воспитывать внимательность, наблюдательность и самостоятельность

Замечание: при проведении этого урока использовалась интерактивная доска и пульты дистанционного тестирования Activote, но провести его можно без этого оборудования, при помощи прилагаемой презентации. Можно провести числовой анализ на каждом этапе тестирования – на начальном и итоговом, а можно сделать сравнительный анализ в конце урока, в качестве подведения итогов.

– Здравствуйте, ребята! Тригонометрия – один из интереснейших разделов математики, но почему-то большинство учащихся считают его самым трудным. Объяснить это, скорее всего можно тем, что в этом разделе формул больше, чем в любом другом – формулы приведения, формулы сложения, формулы двойного и половинного аргументов, формулы суммы и разности тригонометрических функций, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. И самая первая группа формул, с которой вы познакомились в курсе геометрии 8 класса – основные тригонометрические тождества. Без знаний этих формул ни одно тригонометрическое выражение не преобразуешь. Сегодня на уроке, я хочу познакомить вас с некоторыми приемами запоминания тригонометрических формул. Может, некоторые из них вам уже знакомы.

– Перед вами на парте лежат пульты дистанционного тестирования. Я предлагаю вам выполнить тест на знание тригонометрических формул и значений тригонометрических функций некоторых углов. Чтобы ответить на вопрос вам необходимо нажать на пульте кнопку с выбранным вами вариантом ответа.

Вы уже знаете, что тригонометрическую функцию любого угла можно выразить через тригонометрическую функцию угла, не превышающего 90º. Поэтому необходимо знать табличные значения углов первой четверти.

Для запоминания значений синуса и косинуса для углов в 30º, 45º и 60º я предлагаю своим ученикам притчу.

– Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама. И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош. Прогулка была закончена, и дамы вернулись домой. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой. (Сначала, в таблице, во второй строке по порядку указываются номера дам. За тем изображают корни – “зонтики”, и “надевают калоши” – в знаменателях пишут 2).

Чтобы указать значения тангенса и котангенса тех же углов достаточно вспомнить ОТТ, т.е , а котангенс взаимно обратная функция для тангенса.

Тригонометрические функции углов видамогут быть выражены через функции угла α с помощью формул, которые называют формулами приведения. Но запоминать эти формулы не обязательно. Для преобразования таких выражений достаточно знать знаки тригонометрических функций по четвертям и еще одну притчу.

– Жил забывчивый математик, и каждый раз преобразовывая тригонометрические функции углов вида , он спрашивал у своей лошади, жующей за окном сено, надо менять функцию на конфункцию или нет. А лошадь кивала головой по той оси, на которой располагался угол являющиеся границами первой и третьей четвертей соответственно, лежат на оси Оу, то лошадь кивком головы подтверждала смену функции на конфункцию. А для углов наоборот отрицала. Математику оставалось лишь записывать ответ, указывая знак данной функции.

3. Формулы сложения.

Формулы сложения – это та, группа формул которую нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У косинуса функции одноименные, а у синуса разноименные. Не все в нашей жизни бывает “гладко” за белой полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших функций, если функции идут одноименные, то знаки не совпадают, а если разноименные, то совпадают.

cos (α ­ β ) = cos α cos β + sin α sin β;
cos (α + β ) = cos α cos β – sin α sin β;
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β, где

cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.

Например, сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = ños (97º– 67º) = ños 30º = ;

sin 25º сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º) = sin 45º = .

4. Формулы двойного угла

Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α.

Например, cos 2α = cos (α + α ) = cos α cos α – sin α sin α = cos²α – sin²α;

sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + sin α cos α = 2sin α cos α

tg2α = tg (α + α ) = .

Поэтому, 2 sin 65º cos 65º = sin (2∙ 65º) = sin130º = sin (180º – 50º) = sin 50º

Если сложить косинус разности с косинусом суммы двух углов,то мы получим формулу суммы косинусов:

cos (α – β ) = cos α cos β + sin α sin β;
cos (α + β ) = cos α cos β – sin α sin β;
cos (α – β ) + cos (α + β ) = 2 cos α cos β (*)

Обозначим α – β ηа х, а α + β ηа у, тогда α = (х + у) и β =(х – у). Следовательно,

cos х + cos у = 2 cos(х+у) cos(х-у). Если обе части равенства (*) разделить на два, то мы получим формулу, позволяющую представлять произведение косинусов двух углов в виде суммы: cos α cos β = (cos (α – β ) + cos (α + β )). ΐналогичным способом мы получим:

cos х – cos у = -2 sin(х + у) sin(х – у) и sin α sin β = (cos (α – β ) – cos (α + β )).

Если сложить синус разности с синусом суммы двух углов, то мы получим формулу суммы синусов:

sin (α – β ) = sin α cos β – cos α sin β;
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β;
sin (α – β ) + sin (α + β ) = 2 sin α cos β (**)

Из чего мы получаем: sin α cos β =(sin (α – β ) + sin (α + β )) θ

sin х + sin у = 2 sin(х + у) cos (х – у).

Например, cos 80º– cos 40º = -2 sin(80º + 40º) sin(80º – 40º) = -2 sin60º sin 20º = -√3sin 20º.

sin 35º + sin 55º = 2 sin(35º + 55º) cos (35º – 55º) = 2 sin45º cos 10º = √2 cos 10º.

В качестве домашнего задания ребятам можно предложить, используя рассмотренные на уроке приемы, записать тригонометрические формулы. И сделать это нужно несколько раз.