Существенные и несущественные свойства математических объектов раскрываются в процессе определения понятий математики. Множество существенных свойств составляют содержание понятия.
Под существенными свойствами будем понимать те, без которых понятие не существует, и при помощи которых выделяются объекты интересующего нас множества. Существенные свойства – это всегда общие свойства, но обратное неверно – общие свойства могут быть несущественными. Так, в школьных учебниках в уравнениях преобладает обозначение переменной – “х”. Это свойство общее, но не существенное.
Кроме того, понятия “существенное” и “несущественное” свойство относительны, в разных ситуациях одно и то же свойство математического объекта может быть как существенным, так и несущественным. Например, при выделении линейных функций среди других знак коэффициента при х – несущественное свойство, но оно же становится существенным при выделении среди линейных функций возрастающих.
Существенные свойства понятия в определении
могут быть связаны между собой конъюнктивно,
дизъюнктивно и в сочетании конъюнкции и
дизъюнкции. Большинство школьных определений –
конъюнктивны. Если 
– существенные свойства какого-либо математического понятия Р, то:
• если математический объект не обладает хотя
бы одним из свойств 
, то этот объект не принадлежит понятию Р;
• если математический объект обладает всеми
существенными свойствами , то он обязательно принадлежит
понятию Р.
Понять эту непростую закономерность ребятам
помогает такое объяснение материала, при котором
после введения определения ученикам
предъявляются математические объекты со
свойствами 
; 
. Учащиеся
должны мотивированно ответить на вопрос, почему
эти объекты не принадлежат понятию Р. Такая
работа позволяет за один урок сформировать в
сознании ребят математическое понятие.
Процесс выделения свойств математических объектов, отделения существенных от несущественных очень сложен. Чтобы помочь в этом, можно применять на уроках задания следующих четырех типов.
Первый из них – учащимся известно определение математического понятия и они с помощью учителя или самостоятельно формулируют основные существенные свойства этого понятия, заем проверяют, обладают ли предложенные им математические объекты этими свойствами. Примером могут служить следующие задания:
• Сформулируйте определение линейной функции. Укажите, какая из следующих функций является линейной, а какая – нет. Поясните, почему?
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
• Сформулируйте известные вам свойства понятия функции. Укажите, какая из ломаных, изображенных на рисунке, является графиком функции:
Поясните свой ответ.
Задания второго типа состоят в том, что учащиеся должны назвать математический объект по перечисленным его свойствам.
1. Функция … принимает наибольшее значение 
при 
.
2. Функция … возрастает на интервале 
и убывает на
интервале 
.
3. График функции … симметричен относительно
прямой 
.
4. График функции … расположен в III и IV координатных четвертях.
5. График функции … проходит через точку 
.
6. Точка пересечения графика функции … с осью ОУ
– 
.
Какая квадратичная функция обладает этими свойствами? Задайте ее аналитической формулой и постройте график этой функции.
Задания третьего типа – это задания, в которых нужно выделить существенные свойства математических объектов и привести самостоятельно примеры объектов, обладающих такими же свойствами или отбросить лишние объекты:
• Какое из числовых выражений вы назвали бы лишним в этой таблице?
|
|
|
|
Поясните свой ответ.
• Запишите еще несколько членов числовой последовательности, задайте ее общий член формулой:
.
В заданиях четвертого типа от учащихся требуется добавить свойство или свойства, чтобы от одного математического объекта перейти к другому. На уроках геометрии предлагается задание:
• Укажите то условие, которое нужно добавить, чтобы от одного четырехугольника перейти к другому. Назовите все известные вам свойства перечисленных геометрических фигур.
• Укажите условия, необходимые для того, чтобы перейти от одной функции к другой. Назовите все известные вам свойства указанных функций.
Прием расчленяющей абстракции (Е.Н. Кобанова-Меллер) при изучении понятий выражается в таких действиях:
а) выделяются существенные свойства математических объектов, они остаются инвариантными в процессе формирования понятия;
б) выделяются несущественные свойства тех же объектов и принцип их вариаций, в процессе формирования понятия используются вариации несущественных свойств.
После знакомства с графиками функций, содержащих модули, можно предложить учащимся графически решить уравнение, содержащее модуль и параметр.
• Найти все значения а, при которых
уравнение 
имеет
ровно два корня.
Данное уравнение имеет вид 
, где 
; 
.
Раскрывая знаки модулей в 
, рассмотрим три случая:
1) 
: 
.
2) 
: 
.
3) 
: 
.
Запишем 
в
виде:
Решим данное уравнение графически, построив в
системе координат ОХУ графики функций 
и 
. Заметим, что 
задает множество прямых,
параллельных оси ОХ.
Решением задачи будет промежуток 
.
Учитель может варьировать задания:
• Найти все а, при которых уравнение 
1) имеет ровно два корня;
2) имеет ровно три корня;
3) имеет бесконечно много корней;
4) не имеет корней;
5) имеет хотя бы одни корень;
6) имеет хотя бы один корень, причем все его
корни принадлежат отрезку 
.
Другое направление варьирования исходного
задания – изменять 
:
• Найти все а, при которых уравнение:
1) 
2) 
3) 
имеет два корня.
Наконец, варьированию поддаются функции, входящие в левую часть исходного уравнения:
• Найти все а, при которых уравнение:
1) 
2) 
3) 
имеет ровно два корня.
Из получившихся заданий учитель может выбрать материал для “Урока одной задачи”, учитывая особенности своего класса.