Цели и задачи обучения:
- Образовательные: организовать деятельность учащихся по исследованию и решению задач с параметрами, связанных с расположением действительных корней квадратного трехчлена относительно заданных чисел.
- Развивающие: способствовать развитию системного мышления учащихся, формированию элементов математического творчества, исследовательских способностей учащихся, развитию умения работать с абстрактным материалом, умения анализировать.
- Воспитательные: содействовать воспитанию инициативности, трудолюбия, творческой активности, логической культуры, стремления к непрерывному совершенствованию своих знаний.
Тип урока: урок комплексного применения знаний.
Этапы урока:
I. Вводно-мотивационный
1.1. Актуализация знаний
– Все возрастающая популярность задач с
параметрами далеко не случайна. Теоретическое
изучение и математическое моделирование
многообразных процессов из различных областей
науки и практической деятельности человека
зачастую приводят к достаточно сложным
уравнениям, неравенствам или их системам,
содержащим параметры. Необходимой частью
решения подобных задач является исследование
характера и конечного результата процесса в
зависимости от значений параметров.
Немало задач с параметрами сводится к
исследованиям с применением свойств квадратного
трехчлена.
1.2. Постановка целей и задач
1.3. Создание ориентировочной основы деятельности:
Устно:
1) Что можно сказать о знаках параметров а, в, с если график функции у = ах2 + вх + с имеет вид, изображенный на рисунке:
Рис. 1
Ответ: 
;
парабола пересекает ось ОY в точке (0; с), то
; 
2) Опишите рисунки:
Рис. 2
|
Рис. 3
|
Рис. 4
|
Ответ: сказать о знаках параметров, о расположении корней относительно начала координат.
Вопросы:
– Какие задачи с параметрами можно
сформулировать по этим рисункам? (Ответ: а) при
каких значениях параметра уравнение имеет корни
разных знаков; б) при каких значениях
параметра оба корня уравнения отрицательны; в)
при каких значениях параметра оба корня
уравнения положительны)
– Какими способами можно их решить? (Ответ: найти
корни и записать условия для них или применить
теорему Виета)
3) Применима ли теорема Виета, если мы будем рассматривать расположение корней уравнения не относительно нуля, а относительно некоторого числа т? (Нет).
II. Операционно-познавательный
2.1. Обеспечение учащихся необходимой информацией:
– Запишите условия, которые выполняются на этих рисунках:
Рис.
5 Рис.
6
Рис.
7
Рис. 8
Вопросы:
– Как еще могут располагаться корни
относительно заданной точки? (Ответ: данная точка
расположена между корнями)
– Как можно усложнить задачу? (Ответ: Рассмотреть
две точки, получится промежуток.)
Все случаи взаимного расположения корней квадратного трехчлена относительно данного числа или относительно двух данных чисел можно обобщить в таблицу. Вывод свойств в первых двух случаях можно рассмотреть вместе. Вывод остальных свойств (хотя бы нескольких) предоставляется учащимся. Класс разбит на группы, каждая группа готовит вывод одного свойства, общая таблица заполняется на доске.
№ |
Условия на действительные корни х1 и х2 |
Геометрическая интерпретация у = f(x) |
Свойства |
| 1 | 
|
  |
 |
| 2 | 
|
  |
 |
| 3 | 
|
  |
 |
| 4 | 
|
  |
 |
| 5 | 
|
  |
|
| 6 | 
|
  |
 или
|
| 7 | 
|
  |
 или
|
2.2. Выполнение заданий:
Задача: При каких а оба корня
уравнения х2 + ах + а – 3 = 0 лежат в
промежутке ( – 4; 0)?
Решить по свойствам и хотя бы составить систему
условий при решении нахождением корней. Сравнить
получившиеся системы.
Решение «по схеме»
Для нужного расположения корней потребуем: 1)
чтобы вершина параболы лежала между
точками – 4 и 0; 2) чтобы значения функции
в
точках – 4 и 0 были положительны; 3) чтобы корни
существовали. Получим систему 
Ответ: 
Для сравнения рассмотрим способ решения через нахождение корней. Найдем корни и потребуем, чтобы больший корень был меньше нуля, а меньший корень был больше – 4. Получается система иррациональных неравенств.
III. Задание на дом
Задача: При каких а уравнение х2
– 6(а + 1)х + 12а + 5 = 0 имеет хотя бы один корень
меньше 1?
Вывести свойства для оставшихся случаев
расположения корней.
IV. Подведение итогов урока, рефлексия
– Каким способом решали бы вы задачу, если бы
получили ее в начале урока? (Cкорее всего,
нахождением корней. Сравните способы решений.)
– Мы исследовали расположения корней
квадратного трехчлена. Какие еще виды задач с
параметрами хотелось бы вам исследовать?
– Можно ли обобщить данные свойства для случая,
когда дискриминант равен нулю?