Обобщающий урок в 11-м классе по теме "Решение логарифмических уравнений"

Цели урока:

• обобщение изученного материала;
• повторение вопросов теории через выход на практическое применение;
• развитие логического мышления, умения анализировать, выделять главное, обобщать.

ХОД УРОКА

I. Учитель  говорит о форме урока, целях урока, теме урока

II. Устная работа

Определение логарифма: Логарифмом числа x (x > 0) по основанию a, где  a> 0 и а 1, называется показатель степени, в которую надо возвести числоa, чтобы получить данное число x.

Таким образом, если , то х = log_ab, и наоборот.
Из определения логарифма вытекает основное логарифмическое тождество:

П р и м е р ы.

, так как 23 = 8.
 , так как .
 – не существует, так как .

Существуют логарифмы только положительных чисел

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg.
Таким образом, .

П р и м е р ы.

, так как .
, так как .

Основные свойства логарифмов

1. ; т. к. .
2. ; т. к. .
3. log_a (x₁ ^. x₂) = log_a x₁ + log_ax₂ (x₁ > 0, x₂ > 0).
4. log_a (x₁ ^. x₂) = log a + log_a (x₁ < 0, x₂ < 0).
5. log_a (x₁/x₂) = log a x₁ – log_a x2 (x₁ > 0, x₂ > 0).
6. log_a (x₁/x₂) = log_a  –  log_a (x₁ < 0, x₂ < 0).
7. log_a x^q = qlog_ax   (x > 0).
8. log_a x²ⁿ = 2nlog_a|x|  (x 0 , n N).

Логарифмическими называются уравнения вида , где a > 0  и,  и уравнения, сводящиеся к уравнению указанного вида.
Как правило, логарифмические уравнения приводятся к простейшим с помощью формул преобразования логарифмов.

III. Рассмотрим часто встречающиеся типы логарифмических уравнений.

1.  Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма

П р и м е р  1. Решить уравнение

Решение. ООУ: – 2х > 0, х < 0.

            x= – 4,5.

О т в е т. – 4,5.

П р и м е р  2. Решить уравнение

Решение. На основании определения логарифма получаем             x = 42,    x = 16.

Проверка.    0 = 0.

О т в е т. 16.

П р и м е р  3. Решить уравнение

Решение. Область определения данного уравнения множество .

          
1 – х = 8    или   1 – x = – 8
x = – 7        или    х = 9
-7,

О т в е т. – 7; 9.

Задание:

Проверка решений.

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием

П р и м е р 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения:

x₁ = – 3, х₂ = 4.
-3; 4.

Ответ: – 3.

П р и м е р 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения определяется системой неравенств

                        

Преобразуем уравнение к виду

x1= – 5,5;   х2= – 1.

О т в е т. – 1.

Задание:

Проверка решений.

3.  Уравнения второй и выше степеней относительно логарифма

П р и м е р  1. Решить уравнение

Решение.

Область определения уравнения       

Пусть   тогда уравнение примет вид:

у² + 3у – 4 = 0.

у₁ = 1, у₂ = – 4 (не удовлетворяет условию ).

,

О т в е т.  10.

П р и м е р  2. Решить уравнение .

Решение.

Область определения уравнения:

Считая, что х принадлежит этой области, выполним следующие преобразования:

;

;

     или     

х = 0,1        или       

0,1 > 0, .

О т в е т. 0,1; .

Задание:

Проверка решений.

IV.Домашнее задание:

Зачет по теме: «Логарифмы. Основные свойства. График логарифмической функции.Решение логарифмических уравнений и неравенств»

1. Вычислите

;     ;    

2. Определите

3. Найдите область определения функции

4. Изобразите схематический график функции и запишите свойства функции

5. Расположите числа в порядке возрастания

;   ;  ;   ;  

6. Сравните числа

 и

7. Определите знак числа

8. Решите уравнение

9. Решите неравенство

10. НайдитеD(y)

11. Решите уравнение

V. Итоги урока

Список литературы:

1. Алгебра. 10-11 класс. Тематические тесты. Подготовка к ЕГЭ: Учебно-методическое пособие / Под ред. Д.А.Мальцева, А.В. Клово. Ростов-на-Дону: НИИ школьных технологий, 2008. С. 76-84.
2. Материалы ЕГЭ.
3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Готовимся к экзаменам по математике: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников. – М.: Научно-технический центр «Университетский»: АСТ-Пресс, 1997. С. 24-100.