Комплексные числа: основные понятия, действия с комплексными числами

Цель урока:

• знакомство с новым числовым множеством и арифметическими действиями внутри него;
• организация дифференцированной работы учащихся в соответствие с сформированными знаниями;
• развитие внимания, логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, активности учащихся на уроке;
• воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точности и ясности словесного выражения мысли; сосредоточенности и внимания.

Оборудование:

• Мультимедийная установка (при изучении теоретического материала на экране высвечиваются рисунки, формулы необходимые при знакомстве и изучении множества комплексных чисел, при самопроверке на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания);
• Раздаточный материал (карточки с заданиями разного уровня сложности), подготовленный учителем для организации самостоятельной работы.

План урока:

1. Мотивация учебной деятельности учащихся. Сообщение учителем темы и целей урока, актуализация новой учебной темы, пояснение, что во время урока будет использоваться раздаточный материал, который, по завершению работы на уроке, учащиеся могут взять себе в накопительную папку и использовать его при самостоятельной подготовке к различным испытаниям по математике.

2. Повторение и систематизация теоретического материала, связанного с изучением множества комплексных чисел.

3. Изучение нового материала:

- обсуждение геометрической интерпретации комплексного числа;

- изучение и обсуждение формул арифметических действий над комплексными числами.

4. Итоги урока. Комментарии по домашнему заданию.

Ход урока

I этап урока - актуализация новой темы, мотивация учебной деятельности учащихся, повторение теоретического материала.

Процесс расширения понятия числа всегда был связан с потребностями практической деятельности. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел, далее, необходимость выполнения вычитания - к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, извлечение корней из положительных чисел - к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. (Слайд 2). Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных. В ходе повторения теоретического материала учащиеся называют арифметические действия над числами каждого множества и вспоминают их свойства.

II этап урока - геометрическая интерпретация комплексного числа.

Каждому действительному числу соответствует одна точка ("образ" действительного числа) на координатной прямой. Верно и обратное утверждение.

Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т.е. на ней нет места для новых чисел. Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел нужно искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако, каждую точку на координатной плоскости хОу можно отождествлять с координатами (х;у) этой точки. (Слайд 3).

Для каждой пары действительных чисел х и у можно составить выражение z=х+iу, где i - так называемая мнимая единица, i²= - 1. Выражение z=х+iу называется комплексным числом. Если х = 0, то z= 0+iу = iу, такие числа называются чисто мнимыми. (Слайд 4). Если у = 0, то z=х+i0= х, т.е. комплексное число z отождествляется с действительным числом. Число х называется действительной частью комплексного числа и обозначается Rez; а у называется мнимой частью комплексного числа и обозначается Imz. Два комплексных числа z₁=х₁+iу₁, z₂=х₂+iу₂ называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х₁ = х₂, у₁ = у₂. В частности, комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда х = у = 0.

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными. (Слайд 7).

С другой стороны, вспомнив геометрию на плоскости, заметим: каждой точке (х;у) координатной плоскости соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке А(х;у). Поэтому комплексное число z=х+iу можно изобразить в виде вектора , с началом в точке z=0 и концом в точке z=х+iу. (Слайд 3). Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают свойства: (учащимся предлагается дома закончить предложения)

Длина вектора равна ___________

Точки, изображающие числа z=х+iу и z=х-iу симметричны относительно ___________

Точки, изображающие числа z и - z симметричны относительно ___________

III этап урока - формы записи комплексного числа.

Всякое комплексное число можно изобразить точкой А(х;у) плоскости хОу такой, что х=Rez, у= Imz. Плоскость на которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней лежат действительные числа z=х+i0= х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z= 0+iу = iу. (Слайд 3, Слайд 5). Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число z,называется аргументом этого числа и обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z= 0 не определен. Аргумент комплексного числа z 0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2к, кєZ: Arg z = arg z+2к, где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке .

Задание № 1. Найдите модуль и главный аргумент комплексного числа.

а) z = i;

б) z =+i;

в*) z = (1 - 2i)²;

г**) z = .

Решение:

б) z =+i. ; заметим, что (I четверть), tg = , значит = = arg z.

в*) z = (1 - 2i)² = 1 - 4i +4i² = 1 - 4i - 4 = - 3 - 4i. ; заметим, что (III четверть), tg = , значит = arctg = arg z.

Задание № 2. Запишите числа в тригонометрической форме.

а) z = - 1 + i;

б) z = - 1;

в*) z =2 - 2i;

г**) z = .

Решение:

а) z = - 1 + i. ; т.к. , то arg z = , значит z = - 1 + i = .

б) z = - 1. , arg z = arg (- 1) = , значит z = - 1 = .

IV этап урока - формулы арифметических действий над комплексными числами.

Заметим, что в комплексные числа представляют собой сумму х+iу, значит над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все алгебраические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i²= - 1. (Слайд 6).

Задание № 3. Вычислите.

а) (1 + 3i)(1 - 3i) - 2;

б) (2 - i)² + i(3i + 4);

в*) (2i)⁶ + ;

г**) 1 + i⁵ + i¹⁰ + : + i¹⁰⁰.

Решение:

в*) (2i)⁶ + = 2⁶i⁶ + = 64 + = - 64 + 32 = - 32.

Задание № 4. Выполните действия и ответ запишите в тригонометрической форме. (Слайд 8)

а) ;

б) ;

в*) ;

г**).

Решение:

в*) .

V этап урока - индивидуальная работа учащихся (по карточкам).

Каждый учащийся получает карточку с заданием, что позволяет оставшуюся часть урока посвятить индивидуальной работе, осуществить дифференцированный подход при ответе на вопросы отдельных групп учащихся. Во время работы с карточкой учащиеся проводят взаимопроверку знаний друг друга, сравнивая результаты соседа с эталонными ответами.

Мною приведены три варианта индивидуальной карточки, однако на уроке количество вариантов совпадает с числом учащихся в аудитории.

Вариант 1

№1.Выполнить действия:

№2.Запишите результат в тригонометрической форме:

№3.Найдите модуль числа и его аргумент, если:

№4* Изобразите на комплексной плоскости множество точек, если:

№5* Решите уравнение:

Вариант 2

№1.Выполнить действия:

№2.Запишите результат в тригонометрической форме:

№3.Найдите модуль и главный аргумент частного:

№4*. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, если:

№5* Решите уравнение:

Вариант 3

№1.Выполнить действия:

№2.Запишите результат в тригонометрической форме:

№3.Найдите модуль числа и его аргумент, если:

№4*. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, если:

№5* Решите уравнение:

VI этап урока - итоги урока, комментарии по домашнему заданию.

За успешную работу на уроке отдельным учащимся объявляются оценки.

В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются карточками самостоятельной работы из раздаточного материала, при желании, каждый может получить дополнительное задание у учителя.

В конце урока учитель проводит блиц-анкетирование учащихся. (Слайд 9).