Теорема Пифагора. 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

  1. Установить и доказать теорему Пифагора;
  2. Составить алгоритм решения задач по теореме Пифагора и учить его применять.
  3. Расширение кругозора.
  4. Воспитание на примере жизни Пифагора.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя:

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер”

2. Устные упражнения:

  1. Какой треугольник изображен на рис.1?
  2. Назовите катеты и гипотенузу.

 

рис.1.

3. Какой треугольник на рис.2? Чем он интересен?

рис.2.

4. Какой треугольник на рис.3? Почему?

рис.3

3. Практическая работа.

В прямоугольном треугольнике измерить гипотенузу, возвести ее в квадрат, измерить катеты, возвести каждый в квадрат, найти их сумму. Сделайте вывод.

Если взять нам треугольник, да притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы мы всегда легко найдем.
Катеты в квадрат возводим, сумму степеней находим –
И таким простым путем к результату мы придем.

Это стихотворение дает нам математическую запись теоремы Пифагора.

4. Исторический экскурс.

С берегов Средиземноморья дошло до нас имя Пифагора-математика, философа, мистика. Не сохранилось ни одной строки из его сочинений, его биография стала легендой, а самого Пифагора назвали “на одну десятую гением, на девять десятых выдумкой”. С виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и голосе, и в обхождении, и во всем”.

Родился он на острове Самос в Эгейском море. Пифагор в 18 лет отправился в путешествие по странам Востока. Вавилонская наука, и в частности, математика, была передовой наукой того времени. Пифагор во многом воспринял восточную мудрость. Вернувшись на родину в 56 лет, Пифагор собрал вокруг себя единомышленников. “Жизнь Пифагора” Порфирий (233-304г до н.э.)

Система жизненных принципов и правил, проповедуемых Пифагором, и сейчас достойна подражания. Так, Пифагор учил: “Беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы – роскошество, от семьи – ссору, от всего, что есть – неумеренность”. Начинать день нужно было с вопроса:

“Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,
Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил”.
А заканчивать день пифагорейцу надлежало вопросом:
“Не допускай ленивого сна на усталые очи,
Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:
Что я сделал? Чего не сделал? И что мне осталось сделать?”,

Вот и сегодня на уроке мы тоже ответим на эти три вопроса.

5. Доказательства теоремы Пифагора.

И так, приступаем к доказательству теоремы Пифагора.

В те времена формулировка теоремы Пифагора звучала так:

“Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

В наше время теорема Пифагора звучит так:

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Докажем это.(рис.4)

рис. 4

6. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство терем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойство равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: .

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его “ослиный мост” или “бегство убогих”, т.к. некоторые убогие ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозванные потому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Учащиеся придумывали к ней разные карикатуры, стихи и т.д.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно около пяти сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Причина популярности теоремы Пифагора триедина: простота – красота – значимость. Множество теорем в геометрии доказывается с помощью теоремы Пифагора или следствия из нее. Думаю, что самостоятельное “открытие” доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам. К следующему уроку попытайтесь найти другие доказательства теоремы Пифагора.

Рассмотрим одно из доказательств, которое может подсказать направления таких поисков. Это доказательство, основанное на использовании понятия равновеликости фигур. Квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника, “складывается” из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах.

На рис. изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b, то останутся равные площади, т.е. . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: смотри! (рис.5)

рис. 5

7. Закрепление:

а) Устные упражнения: (рис.6)

 

рис.6

Алгоритм решения задач по теореме Пифагора:

  1. Внимательно прочти задачу, разберись с условием.
  2. По условию сделай чертеж.
  3. Выдели на чертеже прямоугольный треугольник, пользуясь цветным карандашом.
  4. Найди в треугольнике катеты и гипотенузу.
  5. Запиши теорему Пифагора, согласно обозначениям, на чертеже.
  6. Выполни подстановку данных и реши полученное уравнение.
  7. Соотнеси полученный ответ с вопросом задачи и смыслом условия.
  8. Грамотно запиши ответ.

Применим алгоритм решения задач по теореме Пифагора к старинной задаче.

б) Старинная задача.

(Из первого учебника математики на Руси – “Арифметики” Магницкого.) Леонтий Филиппович Магницкий (настоящая фамилия – Телятин, Магницким стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивающим к себе всех любознательных, подобно магниту.) “Арифметику” Магницкого и “Грамматику” Смотрицкого М.В.Ломоносов назвал “вратами учености”.

“Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отсояти имать”.(рис.7)

в) Решение задач по готовому чертежу: (рис.8)

 

рис.8

г) Заполнить таблицу:

a

b

c

6

  

10
 

12

15
 

16

20

12

  

13

1

1

  

3

4

  

д) “Правило веревки”

Поговорим о треугольнике со сторонами 3,4 и 5. За 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т.е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. За 8 веков до нашей эры теорема Пифагора была известна индусам. “Правило веревки” использовалось ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны были иметь строгую геометрическую ориентацию относительно четырех сторон горизонта. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. (Показать веревку с завязанными на ней узлами и показать как получается прямой угол). В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении “Чжоу-би”, написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора.

У древних индусов был обычай предлагать задачи в стихах: (Древнеиндейская задача)

Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока?

(Перевод В.И.Лебедева) (рис.9)

Решение:

CD – глубина озера, обозначим ее за x. Тогда по теореме Пифагора имеем:

BD

(x + 0,5)= ,

x = 3,75(фута)

Ответ: 3,75 фута

е) “Венец ученья”,

Задача индийского математика и астронома Бхаскара Ачарья (1114-1178), автора труда “Венец ученья”, в котором содержались методы решения алгебраических и теоретико-числовых задач.

“На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал,
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?” (рис.10)

рис.10

8. Подведение итогов:

  1. Что я сделал?
  2. Чего не сделал? (Чего не понял?)
  3. Что осталось сделать?

9. Домашнее задание:

П. 54-55, № 484(а, б), 486(а, б), найти старинную задачу или задачу с практическим содержанием.

Презентация