Сумма n-первых членов арифметической прогрессии. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Тип урока: Изучение нового материала, выработка алгоритма решения основных типов задач по данной теме.

Цели урока:

  1. Вывести формулы для вычисления n первых членов арифметической прогрессии;
  2. Научить учащихся применять выведенные формулы в различных типах задач;
  3. Воспитание внимательности;
  4. Расширение кругозора.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать арифметическую прогрессию. Мы уже изучили формулу а.п., умеем её применять. Немного повторим.

Приложение 1

I. Проверка знаний:

  • Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
  • Что такое d, как его можно найти?
  • Что достаточно знать, чтобы арифметическая прогрессия была задана?
  • Что такое рекуррентная формула для последовательности?
  • Какой вид имеет формула n-го члена арифметической прогрессии?
  • Какой вид должна иметь формула n-го члена последовательности, чтобы эта последовательность была арифметической прогрессией?
  • Исключите лишнюю последовательность:

а) 3; 7; 11; 15;…
б) 1; 4; 9; 16;…
в) 2; 9; 16; 23;…
г) 1; 3; 5; 7;…

II. Фокус:

Учитель вызывает ученика и ставит его спиной к доске, говорит что-то ему на ухо и открывает доску, на которой записаны 23 чисел: 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28; 31; 34; 37; 40; 43; 46; 49; 52; 55; 58; 61; 64; 67. Учитель предлагает учащимся называть номер числа, а ученик мгновенно называет само число. Учитель предлагает учащимся объяснить, как ему это удается.

( Ученику была сообщена формула n-го члена: аn = 3n – 2)

III. Задание

Найти седьмые члены следующих арифметических прогрессий:

а) (аn ): -6;, -3, 0…;
б) (аn): а1 = 6, d = 5;
в) аn = 27 – 6n;
г) (аn): а1 = -26, d = 7;
д) (аn): 4; 6; 8…;

Сопоставить полученные ответы буквам в шифре и прочитать зашифрованное слово.

Таблица шифра:

-15

11

12

16

36

У

Ф

Г

С

А

Ответ: Гаусс.

Карл Гаусс (1777– 1855).

Это фамилия немецкого ученого-математика, астронома, геодезиста. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Как-то учитель гимназии, в которой учился Карл Гаусс, предложил учащимся найти сумму чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту. Сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98… и 101·50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу? (Нужно было найти сумму 100 первых членов арифметической прогрессии, где первый член равен 1, а разность арифметической прогрессии равна 1.

IV. Сообщение темы урока и его целей:

Итак, тема нашего урока сегодня “Сумма n первых членов арифметической прогрессии”. Сегодня на уроке мы выведем формулы n первых членов арифметической прогрессии, научимся их применять в различных типах задач.

V. Изучение нового материала.

И сейчас мы выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии простым и наглядным способом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой.

Например, фигура АВСD изображает прогрессию 2; 5; 8; 11; 14.

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABCD и GEDC.

Площадь каждой из них изображает сумму членов данной прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е. (AD + DE) · AB, но AD + DE изображает сумму первого и пятого членов прогрессии. Поэтому двойная сумма:

2Sn = (сумма крайних членов) · (число членов),

Sn = ,

Sn = . (*)

Открыть учебники на стр. п. Прочитаем вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Формулу (*) можно преобразовать следующим образом:

  • Таким образом, мы получили формулу: .(**)

VI. Применим эту формулу:

Пример I.

Найти сумму первых 30 членов последовательности (аn), заданной формулой аn = 3n – 2.

Здесь а1 = 3·1 – 2 = 3 – 2 = 1,

а30 = 3·30 – 2 = 90 – 2 = 88.

Какой формулой можно воспользоваться? (*)

Пример II. Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии 4; 7; 10;… Здесь а1 = 4, d = 10 – 7 = 7 – 4 = 3. Применим (**) формулу:

Пример III. Математический папирус Ринда (или Райнда) (ок. XXI–XVIII вв до н.э.) – (по имени английского ученого, расшифровавшего его), Ахмеса – (по имени древнеегипетского писца) – древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650г. до н.э. Математический папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера, сейчас находится в Британском музее. Папирус Ринда имеет заголовок “Наставление, как достигнуть знания всех неизвестных вещей …всех тайн, содержащихся в вещах”.    

Проблема №R64. "Пример разделения на части. Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 heqat пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 heqat пшеницы. В среднем это 1 heqat. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 heqat прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 heqat у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим: ".

Проблема заключается в том, чтобы поделить 10 heqat пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 и H10. S – это общее количество, т.е. 10 heqat пшеницы. N – количество частей. У каждого разное количество heqat. При этом у каждого на 1/8 heqat больше, чем у предыдущего. Пусть H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 и т.д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

S10 =10, n = 10, d = , a1 -?

Sn =

10 =

a1 =1 – =

Ответ: первый получит

VII. Выполним упражнения:

№ 369 (самостоятельно, 2 человека за доской, с последующей самопроверкой)

№ 370. Какой формулой воспользуемся?

VIII. Домашнее задание:

В знаменитом египетском папирусе Ринда есть любопытная задача. Папирус этот, разысканный Риндом в конце XIX столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. Эта задача считается самой древней из задач на арифметическую прогрессию. В вольном переводе она звучит так:

Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер хлеба нужно дать каждому?

Переведем эту задачу на язык арифметической прогрессии:

I – а1
II – а1 + d
III – а1 + 2d
IV – а1 + 3d
V – а1 + 4d.

Кроме того, а1 + а1 + d < а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d в 7 раз.

Составим систему уравнений:

а1 + а1 + d + а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d = 100,

7(а1 + а1 + d) = а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d.

Предлагаю решить эту задачу дома аналитически.

П. 17, примеры 1-4 разобрать по учебнику, № 371, 373, задача из папируса Ринда, из дополнительной литературы найти задачу на арифметическую прогрессию.

IX. Подведение итогов.

Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер хлеба нужно дать каждому?