Решение комбинаторных задач

Цели урока: показать несколько способов решения комбинаторных задач, с которыми они уже встречались в 5-м классе, проговорить все преимущества и недостатки этих способов. Оставить выбор способа решения за учащимися.

Ход урока

1. Повторение по теме: “Числовые промежутки”.

Заполните пустые места в следующей таблице:

Памятка: открытый луч; луч; интервал; отрезок

2. Решение задач.

Решить следующую задачу тремя различными способами: с помощью простого перебора, с помощью дерева вариантов и по правилу умножения.

1.Задача: В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

I способ: Пронумеруем лампочки и будем писать + и – в зависимости от того, горит или не горит очередная лампочка.

Перечислим все способы освещения:

+ + + ; + + – ; + – + ; – + + ; + – – ; – + – ; – – – ; – – +

Всего 8 способов. (Всегда можно решить задачу, но можно запутаться, и это может быть сильно долгий путь)

II способ: Построим дерево возможных вариантов:

Всего 8 вариантов. (Оказался более понятным способом, но в зависимости от условия задачи может быть громоздким).

III способ: Способ умножения

У каждой лампочки имеется два исхода: может гореть или не гореть. Всего 3 лампочки и у каждой по 2 исхода, т.е.

2•2•2=8

Ответ: 8

(Правило умножения позволяет в один шаг решить самые разнообразные задачи, но не всем понятно).

Решили такие задачи решать следующим образом.

2.Задача а) Сколько двузначных цифр можно составить из цифр: 1,2,3,4,5?

5•5=25

Ответ: 25

б) Сколько двухзначных цифр можно составить из цифр: 1,2,3,4,5, при условии, что они не будут повторяться?

Ответ: 20

3.№505 а) Сотни: 2 4 6

Ответ: 48 чисел.

б) Сотни: 2 4 6

Единицы: 0 2 4 6

Ответ: 18 чисел.

4.Задача. В чемпионате России по футболу в высшей лиге участвует 16 команд.

Перед началом чемпионата газета “Спорт” провела интернет-опрос читателей, задав им 2 вопроса: 1) какие 3 команды станут призерами чемпионата, т.е. займут первое, второе и третье места; 2) какие две команды займут два последних места? Читатели указали все возможные варианты при ответе и на первый, и на второй вопрос.

а) Сколько вариантов состава призеров чемпионата указали участники опроса?

Решение:

Для первого места имеется 16 вариантов выбор команды, для второго – 15 и третьего – 14.

16 •15•14=3360

Ответ: 3360 вариантов

б) Сколько вариантов состава неудачников чемпионата указали участники опроса?

Решение:

Для выбора последнего места – 16 вариантов, предпоследнего – 15.

16•15=240

Ответ: 240 вариантов.

5. Задача. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Мамино – Папино – Бабушкино – Дедушкино – Тетино.

Из Мамино в Папино можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Папино в Бабушкино – пешком или на велосипедах. Из Бабушкино в Дедушкино доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Из Дедушкино в Тетино пешком, на велосипедах или на лошадях. Сколько всего вариантов прохода могут выбрать туристы?

Рисунок1

Рисунок2

Решение:

Сделаем рисунок (Рисунок1)

2•2•3•4=36

Ответ: 36 вариантов

Сколько вариантов прохода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы один из участков маршрута они должны пройти пешком?

Решение:

Посчитаем число вариантов маршрута при условии, что они нигде не идут пешком (Рисунок2).

1•1•2•2=4

Искомая величина: 36-4=32

Ответ: 32 варианта.

3. Подведение итогов.