Приемы и методы сравнения логарифмов

Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то log_ab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то log_ab < 0 [4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как

Так как функция y = log₇t возрастает на R₊, 10 > 7, то log₇10 > log₇7, то есть log₇10 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log₇10 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, log_sin3log₇10 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R₊, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

Решение.

Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Решение 4(d).

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log₅13 > log₇13.

5. Сравните числа log₂6 и 2.

Решение.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

2 = log₂4;

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 6 > 4. Значит, log₂6 > log₂4  и log₂5 > 2.

Второй способ (составление разности).

Составим разность .

6. Сравните числа и -1.

Решение.

-1 = ;

Функция y =   убывает на R_+, 3 < 5. Значит, >  и > -1.

7. Сравните числа и 3log₈26.

Решение.

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 25 < 26. Значит, log₂25 < log₂26  и .

Решение.

Первый способ.

Умножим обе части неравенства на 3: 

Функция y = log ₅t возрастает на R₊ , 27 > 25. Значит,

Второй способ.

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log₄26 и log₆17.

Решение.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log₄t и y = log₆t возрастающие на R₊:

Решение.

Учитывая, что функции   убывающие на R₊, имеем:

. Значит,

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log₂3 и  log₃5.

Решение.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log₇8 и log₆7.

Решение.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = log_ax.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log₂₄72 и log₁₂18.

Решение.

14. Сравните числа log₂₀80 и log₈₀640.

Решение.

Решение.

Пусть log₂5 = x . Заметим, что x > 0.

Получаем неравенство .

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x² < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 4⁴ – 2·2⁴⁺¹ – 3 < 0. Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (–∞; log₂3); число √2 является решением данного неравенства.)

Заключение.

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Литература.

1. Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение, 1986.
2. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.
4. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
5. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.