Решение неравенств второй степени с одной переменной

образовательные: формирование у учащихся умения решать неравенства второй степени с одной переменной.

развивающие: развитие логического мышления; развитие устной и письменной речи; формирование навыков владения математическими терминами, т. е. умения читать математическую, а, следовательно, и техническую литературу;

воспитательные: формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Задача: обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися навыками решения неравенств второй степени с одной переменной.

Тип урока: урок объяснения нового материала.

Оборудование:

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы познакомимся с неравенствами второй степени с одной переменной и научимся их решать. Для этого нужно вспомнить, что является решением неравенства, как оно записывается, а также повторить этапы исследования свойств функции по графику. Все это поможет нам в успешном усвоении темы.

2. Актуализация знаний

– презентация (устная работа по свойствам функции)

 < Слайд 1>

 Назовите нули функции, и промежутки, где функция принимает положительные и отрицательные значения

 < Слайд 2>

 Нули функции х₁= -7, x₂= -5, x₃= -2, x₄=5

Функция принимает положительные значения (-7;-5) (-2;5)

Функция принимает отрицательные значения (-;-7) (-5;-2) (5;+)

 < Слайд 3>

 Нуль функции х₁= 1,5

Функция принимает положительные значения (1,5;+ )

Функция принимает отрицательные значения (-; 1,5)

 < Слайд 4>

Нуль функции х₁= 3

Функция принимает положительные значения (-; 3) (3;+ )

Функция не принимает отрицательных значений

< Слайд 5>

Нули функции х₁= -2, x₂= 1,5,

Функция принимает положительные значения (-2; 1,5)

Функция принимает отрицательные значения (-; -2) (1,5;+ )

< Слайд 6>

Нули функции х₁= 1, x₂= 6

Функция принимает положительные значения (-; 1) (6; +)

Функция принимает отрицательные значения (1;6)

< Слайд 7>

Нулей функции нет

Функция всегда принимает положительные значения (-; +)

< Слайд 8>

Нулей функции нет

Функция всегда принимает отрицательные значения (-; +)

< Слайд 9>

a) (-3;+ )

б ) (-;7)

в) (5;15]

г) [-2;6)

Вопросы к учащимся:

1. Как по графику определить нули функции?

2. Как по графику определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения?

3. Что является решением неравенства?

3. Изучение новой темы

Неравенства вида ax²+bx+c>0 и ax²+bx+c<0 где х – переменная , a,b,c – некоторые числа, причем а не равно 0 называются неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение такого неравенства можно рассматривать, как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Пример 1. Решить неравенство

5х²+9х-2<0

Рассмотрим функцию у=5х²+9х-2

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение

5х²+9х-2=0

D=121, x₁= -2, x₂=0,2.

Покажем схематически, как располагается парабола в координатной плоскости.

 < Рисунок 1>

Ниже Ох парабола располагается на интервале (-2;0,2).

Ответ (-2;0,2).

Пример 2. Решить неравенство.

3х²-11х-4>0

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдите самостоятельно нули функции.

<Рисунок 2>

Ответ (-;– ) (4; +)

Пример 3 Решить неравенство

х² +2х-4<0

<рисунок 3>

Пример 4 Решить неравенство

a) x²-3x+4>0, б) x²-3x+4<0.

Решим квадратное уравнение x²-3x+4=0.

D=-7<0

Нулей функции нет, ветви параболы направлены вверх.

<Рисунок 4>

Ответ

a) (-;+), б) решений нет

Предлагаю повторить основные пункты решения неравенств второй степени и создать опорный алгоритм.

1. Найти дискриминант квадратного трёхчлена и выяснить имеет ли он корни
2. Если трехчлен имеет корни, то отметить их на оси абсцисс и схематически провести параболу. Если а>0 ,ветви параболы направляют вверх, если а<0 ветви направляют вниз. Если трехчлен не имеет корней при а>0 чертим параболу в верхней полуплоскости, при а<0 в нижней полуплоскости.
3. Найти на оси абсцисс промежутки, удовлетворяющие условиям неравенства и записать ответ.

2. Первичное закрепление

Сейчас перед вами несколько неравенств. Сложность их повышается к концу списка. Я предлагаю вам решить любые два на выбор.

1. 2х²-7х+6>0

< Слайд 14>

2. х²+2х-48>0

< Слайд 15 >

3. -5х²+11х-6>0

< Слайд 16>

4. -2х²+7<0

< Слайд 17 >

5. 2x²+5x>-3

< Слайд 18 >

< Слайд 19 >

Задача:

Жили два соседа. И была у них земля под огородами. У одного участок большой, а у другого маленький – всего 20м на 4м и неудобно расположенный. И попросил однажды сосед соседа: “ Добавь мне немного земли”. На что второй сосед сказал: “ Хорошо. Я согласен. Но твой участок все равно не должен быть больше 128 м кв. И еще условие – на сколько увеличится ширина, на столько же пусть уменьшится длина”. Так и сделали. Каким же стал участок первого соседа?

Составим неравенство

(20-х)(4+х)<=128

Раскроем скобки и приведем подобные

-х²+16-48<=0
х₁ =4 х₂ = 12

<Рисунок 5>

Итак, на сколько можно изменить ширину участка?

Какое изменение будет наиболее выгодным: на 4м, на 12 м?

Почему нельзя взять число из промежутка (4;12)?

3. Итоги урока.

Что является решением неравенства второй степени с одной переменной?

Какие шаги нужно выполнить для того, чтобы решить неравенство второй степени?

Выставление оценок.

Домашнее задание:

1 группа §4 п.8, №116, №129(а,б).

2 группа §4 п.8, №116 , №120(а,б).

Спасибо за работу на уроке.