Применение различных способов для разложения на множители. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький.
Конфуций.

Цели:

  1. Показать применение различных способов для разложения на множители многочлена; повторить способы разложения на множители и закрепить их знание в ходе упражнений.
  2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование: интерактивная доска, карточки с заданиями:

Ход урока

I. Устные упражнения

(В это время несколько учеников решают самостоятельную работу по карточкам).

1. Представьте в виде произведения:

а) 4x2 – 1;
б) 25 – 16c2;
в) (3 + а)2 – 16;

2. Установите соответствие между выражениями левого и правого столбцов. Какое выражение осталось без пары? Почему?

  1. a2 + 2аb + b2
  2. (а – b) (а + b)
  3. a2 – 2аb + b2
  4. (а – b) (а2+ аb + b2)
  5. (а + b) (а2 – аb + b2)
  1. a2 – b2
  2. a2 + b2
  3. a3 + b3
  4. (a – b)2
  5. (а + b)2

3. Решите уравнения:

а) (x + 3) (x – 7) = 0;
в) 4x2 + 16 = 0;
б) x2 – 36 = 0;

II. Проверка домашнего задания

III. Изложение темы

Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов.

Начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки. Чтобы успешно решать такие примеры, сегодня мы попытаемся выработать план последовательного их применения.

Пример 1. Разложите многочлен на множители и укажите какие способы использовались при этом.

4x3 – 16x (применили 2 способа:

  • вынесение общего множителя за скобки;
  • использование формул сокращенного умножения).

Пример 2.

a2 + 2ab + b2 – c2 (применили 2 способа:

  • группировку;
  • использование формул сокращенного умножения).

Пример 3.

y3 – 3y2 + 6y – 8 (применили 3 способа:

  • группировку;
  • использование формул сокращенного умножения;
  • вынесение общего множителя за скобки).

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:

  1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
  2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого умножения.
  3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

Пример 4.

x3 + 3x2 + 2x (применили 3 способа:

  • вынесение общего множителя за скобки;
  • предварительное преобразование;
  • группировку).

Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один способ разложения на множители – предварительное преобразование. Даем ему характеристику:

Предварительное преобразование
Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Пример 5.

Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе).

1. Решить уравнения:

а) х2 – 15х + 56 = 0
б) х2 + 10х + 21 = 0

Отмечаем, что при разложении многочлена х2 + 10х + 21 на множители мы «увидели» полный квадрат (х2 + 10х + 25 = (х + 5)2) и, таким образом, применили еще один способ разложения на множители: метод выделения полного квадрата.

IV. Упражнения для закрепления изложенной темы

Решить №934, №935.

V. Подведение итогов урока

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что кроме трех основных способов разложения на множители: вынесения общего множителя за скобки, группировки, использования формул сокращенного умножения, – учащиеся познакомились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценивает работу учащихся и ориентирует учеников в домашнем задании.

Домашнее задание: п. 38, №936, №939, №949 (а, б).