Физический смысл производной

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные:

  • Создать условия для осмысленного усвоения учащимися физического смысла производной.
  • Содействовать формированию умений и навыков практического использования производной для решения разнообразных физических задач.

Развивающие:

  • Способствовать развитию математического кругозора, познавательного интереса у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы.
  • Обеспечить условия для совершенствования мыслительных умений учащихся: сравнивать, анализировать, обобщать.

Воспитательная:

  • Содействовать воспитанию интереса к математике.

Тип урока: Урок освоения новых знаний.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Содержание урока: §5 учебника пункт 21, стр. 137-142.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, презентация, учебник.

Структура урока:

  1. Организационный момент, постановка цели урока
  2. Изучение нового материала
  3. Первичное закрепление нового материала
  4. Самостоятельная работа
  5. Итог урока. Рефлексия.

Ход урока

I. Организационный момент, постановка цели урока (2 мин.)

II. Изучение нового материала (10 мин.) 

Учитель: На предыдущих уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные линейной, степенной, тригонометрических функций. Узнали, в чем заключается геометрический смысл производной. Сегодня на уроке мы узнаем, где в физике применяется данное понятие.

Для этого вспомним определение производной (Слайд 2)

Теперь обратимся к курсу физики (Слайд 3)

Учащиеся рассуждают, вспоминают физические понятия и формулы.

Пусть тело движется по закону S(t)= f(t) Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t0 до t0+ Δ t, где Δt – приращение аргумента. В момент времени t0 телом пройден путь S(t0), в момент t0+Δt – путь S(t0 +Δt). Поэтому за время Δt тело прошло путь S(t0+Δt) –S(t0), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения тела за этот промежуток времени υ==

Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать, с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t →0, получим мгновенную скорость – числовое значение скорости в момент t этого движения.

υ= , при Δt→0 скорость – есть производная от пути по времени.

Слайд 4

Вспомним определение ускорения.

 Применяя изложенный выше материал можно сделать вывод, что при t а(t)= υ’(t) ускорение – есть производная от скорости.

Далее на интерактивной доске появляются формулы силы тока, угловой скорости, ЭДС и т.д. Учащиеся дописывают мгновенные значения данных физических величин через понятие производной. (При отсутствии интерактивной доски использовать презентацию)

Слайды 5-8

Вывод формулируют учащиеся.

Вывод: (Слайд 9) Производная – это есть скорость изменения функции. (Функции пути, координаты, скорости, магнитного потока и т.д.)

υ (х)=f ’(х)

Учитель: Мы видим, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых физикой, техническими науками, химией, аналогична связи между путем и скоростью. Можно привести множество задач, для решения которых также необходимо находить скорость изменения некоторой функции, например: нахождение концентрации раствора в определенный момент, нахождение расхода жидкости, угловой скорости вращения тела, линейной плотности в точке и т.д. Некоторые из таких задач мы сейчас решим.

III. Закрепление полученных знаний (работа в группах) (15 мин.)

С последующим разбором у доски

Перед решением задач уточнить единицы измерения физических величин.

Скорость – [м/с]
Ускорение – [м/с2]
Сила – [Н]
Энергия – [Дж]

Задание 1 группе

Точка движется по закону s(t)=2t³-3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2с

Дано: Решение:
s(t)= 2t³-3t
t=2с
______________
υ(2)=?
а(2)=?		 υ(t)=s’(t)
υ(t)= (2t³-3t)’=6t²-3
υ(2)= 6·2²-3=21 м/с
a(t)=υ’(t)

а(t)=(6t²-3)’=12t
a(2)=12·2=24м/с²
Ответ: υ(2)= 21 м/с; a(2)= 24м/с²

Задание 2 группе

Маховик вращается вокруг оси по закону φ(t)= t4-5t. Найдите его угловую скорость ω в момент времени 2с (φ – угол вращения в радианах, ω – угловая скорость рад/с)

Дано: Решение:
φ(t)=t4-5t
t=2с 
______________
φ(2)=?		 ω(t)= φ’(t)
ω(t)=(t4-5t)’= 4t³-5
ω(2)=4·2³-5=32-5=27рад/c
Ответ: ω(2)= 27рад/c

Задание 3 группе

Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(t)=2-3t+2t²

Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах)

Дано: Решение:
m=2кг
х(t)=2-3t+2t²
t=3c
______________
υ (3)=?
E=?
F=?		 υ(t)= х’(t)
υ(t)=(2-3t+2t²)’=-3+4t
υ(3)= -3+4·3=9м/с

E=
E==82 Дж

F=ma
a(t)=υ’(t)
a(t)=(-3+4t)’=4м/с
F=2·4=8H
Ответ: υ(3)= 9м/с; E=82 Дж; F=8H

Задание 4

Точка совершает колебательные движения по закону х(t)=2sin3t. Докажите, что ускорение пропорционально координате х.

Дано: Решение:
х (t)= 2sin3t
______________
а(t)		 a(t)=υ’(t)=х’’(t);
υ(t)=х’(t);
υ(t)=(2sin3t)’=6cos3t
a(t)=(6cos3t)’=-18 sin3t=-9·х(t)
Ответ: a(t)=-9·х(t)

IV. Самостоятельное решение задач №272, 274, 275, 277

[А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов и др. «Алгебра и начала анализа10-11 класс»] 12 мин

№272

Дано: Решение:
x(t)=-
______________
t=?
υ(t)=?		 υ(t)=х’(t);
υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t;
a(t)=υ’(t)
a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6;
a(t)=0;
-t+6=0;
t=6;
υ(6)=+6·6=-18+36=18м/с
Ответ: t=6c; υ(6)= 18м/с

№274

Дано: Решение:
m=масса
х(t)=2t³-t²
______________
t=2c
F=?		 F=ma
a(t)=υ’(t)
υ(t)=х’(t);
υ(t)=(2t³-t²)’=6t²-2t
a(t)=(6t²-2t)'=12t-2
a(2)=12·2-2=24-2=22м/c²
F=22m H
Ответ: F=22m Н

№ 275

Дано: Решение:
m=2кг
х(t)=t²+t+1
t=2c
______________
F=?
E=?		 F=ma
a(t)=υ’(t)
υ(t)=х’(t);
υ(t)=(t²+t+1)’=2t+1;
a(t)=(2t+1)’=2см/с² =0,02м/с²
F=2·0,02=0,04H;
E= ;
υ(2)=2·2+1=5см/с=0,05м/с;
E==0,0025Дж
Ответ: F=0,04H; E=0,0025Дж

№277

Дано: Решение:
х1=4t²3
x2(t)=t³
υ1(t)>υ2(t)
______________
t=?		 υ(t)=х’(t);
υ1(t)=(4t²-3)’=8t;
υ2(t)=(t³)’=3t²;
8t>3t²;
3t²0;
Решим неравенство методом интервалов.
Рассмотрим функцию f(x)= 8t-3t²
f (x)=0;
8t-3t²=0;
t(3t-8)=0;
t=0 или 3t-8=0
3t=8
t=2
C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\v fgngvhj.bmp
Ответ: 0<t<2 c

V. Итог урока (2 мин.)

  1. В чем состоит механический смысл производной?
  2. Тело движется по прямой согласно закону х(t).Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

VI. Задание на дом (1 мин.)

§5 учебника пункт 21 № 268, 270, 273

VII. Оценки, рефлексия (2 мин.)

  1. Что нового сегодня на уроке вы узнали?
  2. На какой вопрос вы не получили ответ?

Презентация.