Теорема Виета

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний и способов деятельности.

Цель урока: организовать деятельность учащихся по изучению т.Виета; по применению полученных знаний; создать: а) условия для развития умений учащихся самостоятельно применять полученные знания; б) условия для развития информационных умений; для развития монологической и диалогической речи.

Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска портрет Виета, карточки, таблицы, сообщение учащегося, звёздочки.

Логика урока: мотивация – восприятие – осмысление и первичное запоминание – первичная проверка понимания изученного материала – анализ изученного содержания – рефлексия.

Ход урока

I. Организационный этап.

Вводное слово учителя.

На доске написано высказывание: "Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе". М.И. Калинин.

Вот и сегодня на нашем уроке у каждого из вас есть такая возможность.

II. Подготовка к изучению нового материала.

1. проверочный диктант.

1. Запишите, пожалуйста, общий вид квадратного уравнения.
2. Запишите общий вид приведённого квадратного уравнения.
3. Неполное квадратное уравнение, если в = 0; с = 0; В и С равно 0.
4. Запишите формулу вычисления дискриминанта.
5. Запишите слово дискриминант.
6. Чему равно X₁ и X₂.

Диктант проверяется с использованием презентации.

У доски по карточкам учащиеся решают уравнения, используя дифференцированный подход в обучении.

Столько же учащихся по карточкам решают в тетради.

Карточка 1. Решите уравнение: х² – 8х + 15 = 0.

Карточка 2. Решите уравнение: х² + 12х + 20 = 0.

Карточка 3. Решите уравнение: х² – 5х -6=0.

Карточка 4. Решите уравнение: х² – 8х – 9 = 0.

Карточка 5. Решите уравнение: 2х² – 9х + 10 = 0.

Карточка 6. Решите уравнение: 5х² + 3х – 8 = 0.

Карточка 7. Решите уравнение: х² – 7х + 10 = 0.

Карточка 8. Решите уравнение: х² + вх + с = 0.

Найдите сумму и произведение корней этого уравнения:

х₁ + x₂ =
х₁ * x₂ =

Проверку задания осуществляем с использованием интерактивной доски слайдов. Полученные ответы учащиеся вписывают в таблицу.

x1+x2= 8 x1*x2= 15	Я		x1+x2= 9/2 x1*x2= 10/2	В
x1+x2= -12 x1*x2= 20	желаю		x1+x2= -3/5 x1*x2= -8/5	изучении
x1+x2= 5 x1*x2= -6	Вам		x1+x2= 7 x1*x2= 10	важной
x1+x2= 8 x1*x2= -9	успехов		x1+x2= -в x1*x2= с	темы

Когда учащиеся работают по карточкам, в это время устно поработаем со слабыми учащимися.

Учитель задаёт вопросы ученикам:

– К какому виду относится данное уравнение? 2х² – 9х + 10 =0.

– Назовите чему равно а – ?; в – ?; с – ?;

– Определите, к какому виду уравнений относится данное уравнение х² + 5х – 6 = 0;

– Вычислите его дискриминант;

– В уравнении x²+ 2х + 1 выделите квадрат двучлена;

– Выясните сколько корней имеет данное уравнение 2х² + х + 2 = 0.

III. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С НОВЫМ МАТЕРИАЛОМ

– Обратите внимание на числа В и С и на числа, которые являются суммой корней и произведением корней.

– Кто из вас увидел какую-нибудь зависимость.

– Оказывается корни квадратного уравнения можно вычислить и без вычисления дискриминанта.

Для приведённого квадратного уравнения зависимость:

x₁ + x₂ = – в;
x₁ * x₂ = с

для неприведённого квадратного уравнения зависимость

x₁ + x₂ = –
x₁*x₂ =

Я желаю вам успехов в изучении важной темы.

На интерактивной доске записаны только две формулы:

x1 + x2 = – в x1 * x2 = с

x1 + x2 = – x1 * x2 = –

Эту связь заметил первым французский математик Франсуа Виет (портрет учёного прикрепляется к доске). Как вы уже смогли заметить, тема нашего урока: "Теорема Виета".

Выполняя задания по карточкам вы самостоятельно доказали теорему Виета.

Виет – "отец алгебры" родился в г. Фонтан ле Конт. В трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т.е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Он разработал единообразный приём решения уравнений 2-й, 3-й, 4-й степени и новый метод решения кубических уравнений.

Сообщение учащегося "О теореме Виета"

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 году следующим образом: "Если В + Д, умноженное на минус А минус А2 , равно ВД, то А равно В и равно Д. Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше X), гласные же В, Д – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведённая формулировка Виета означает: если имеет место:

(А + В)Х – X² = АВ
т.е. х² – (А + В)х+АВ=0, то x₁ = А; x₂ = В.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приёмах решения уравнений. Однако символика Виета ещё далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

***

Для коэффициентов и корней квадратного уравнения выполняются соотношения:

x₁+x₂=-
x₁*x₂ =

Эти соотношения называют теоремой Виета по имени французского математика Ф.Виета (1540-1603). Особенно удобна эта теорема для приведённого квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = – р ;
x₁*x₂ =g

Давайте мысленно представим, что Виет не только смотрит на нас, но и слушает нас.

– Кто из вас попытается сформулировать теорему Виета.

– Откройте учебник на странице 121.

Прочитайте формулировку теоремы и её доказательство.

Ученик, выполняя задание на карточке № 8 самостоятельно выполнил доказательство теоремы.

IV. Первичное осмысление и заучивание теорем.

Как вы успели заметить, теорему Виета можно применять к уравнению вида Ах²+ Вх+ С = 0.

Однако сам Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Декарта и Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

задание № 573 а, в, д, ж выполняем устно, б, г, з, е выполняем самостоятельно, с проверкой у доски. (стр.124 учебника).

№ 576. Найдите подбором корни уравнения.

Задание выполняется самостоятельно. Корни записываются на интерактивной доске.

x1+x2= x1*x2=		5 4
x1+x2= x1*x2=		-12 1
x1+x2= x1*x2=		-8 7
x1+x2= x1*x2=		11 8

Как вы считаете, можно ли, зная корни квадратного уравнения составить само уравнение. Такую закономерность заметил Виет, и существует теорема, обратная теореме Виета.

– Кто из вас попробует её сформулировать. Посмотрите в учебнике на странице 125 и прочитайте эту теорему.

Предлагаю поиграть.

Игра "Кто быстрее составит квадратное уравнение".

Условие игры: Какой ряд быстрее и правильно выполнит задание.

Через слайд предлагается задание. От каждого ряда ученик решает и записывает получившийся ответ, только одного задания.

x1+x2= 4 x1*x2= 3	х2 +4х +3 =0	спасибо
x1+x2= -3 x1*x2=-10	х2+3х -10 =0	за
x1+x2=9/2 x1*x2=10/2	2х2 – 9х +10 =0	чудесный
x1+x2= – 3/5 x1*x2=-8/5.	5х2 +3х – 8 =0	урок

Добрый старый наш Виет видит – вас трудолюбивей нет.

V. Подведение итогов урока и оценка ответов учащихся.

Вот и пришла пора прощаться с добрым Виетом и его прекрасной теоремой.

Я думаю, что Франсуа Виет хотел бы увидеть лучших в работе на уроке.

Возьмите все свои звёздочки в руки и поднимите их вверх.

У кого из Вас только красные звёздочки или большее количество их, тот получает оценку "5" за работу на уроке; если жёлтые звёздочки, то оценка "4", если зелёные звёздочки, то оценка "3".

VI. Постановка домашнего задания.

Изучить пункт 23 учебника, выучить наизусть формулировки т. Виета

решите 575, 577.

Пусть долго помнится известный всем Виет, открывший формулу для уравнений.

Ученик читает стихотворение.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого.
Умножишь ты корни и дробь уж готова
В числителе С, в – знаменателе А,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе В, в знаменателе А.

Литература:

1. Учебник алгебры 8 класс.
2. А.И. Бородин, А.С. Бугой. Выдающиеся математики. Киев. 1987, стр. 108.
3. Г.И. Глейзер. История математики в школе. М., Просвещение, 1982, стр. 24-25.
4. Энциклопедический словарь юного математика. М., Просвещение, 1989, стр.133, 203, 288.
5. "За гранью урока", стр. 50.