Образовательная цель: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.
Развивающая цель: развивать умение выделять главное, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес.
Воспитательная цель: формировать у учащихся познавательный интерес, нравственные качества личности, взгляды и убеждения.
Тип урока – урок изучения нового материала.
Формы: фронтальная, индивидуальная.
Методы и приемы: словесный, наглядный, частично-поисковый, метод устного и письменного контроля.
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний:
а) устная работа: Упростите (ответы записываются на доске)
III. Изучение нового материала.
Вводится определение иррационального уравнения.
Определение: Уравнение, содержащее переменные под знаком корня, принято называть
иррациональным.
Запись выводится на экран с помощью мультимедийного проектора.
Назовите, какие уравнения относятся к иррациональным, а какие нет и докажите почему?
Обобщение (таблица выводится с помощью мультимедийного проекта)
| Является | Не является |
 |
 |
Посредством уравнений, теорем он уйму всяких разрешал проблем
и засуху предсказывал, и ливни. Поистине его познания дивны.
Госер.
Для того, чтобы у вас, ребята были познания дивны, ознакомимся с некоторыми способами решения иррациональных уравнений. Для этого:
Определите, является ли число Х0 корнем данных уравнений?
Рассмотрим несколько способов решения уравнений.
I. Возведение в степень.
Часто используемый “специфический” прием решения иррациональных уравнений – возведение в степень. Наиболее распространенный случай – возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Заметим, что уравнение f (х) = g (х), вообще говоря, неравносильно уравнению f2 (х) = g2 (х). Действительно:
f2 (х) = g2 (х) ↔ f2 (х) – g2 (х) = 0 ↔ (f (х) – g (х)) (f (х) + g (х)) = 0
То есть решая уравнение f2 (х) = g2 (х), мы находим курни двух уравнений f (х) = g (х) и f (х) = -g (х). Это означает, что уравнение f2 (х) = g2 (х) является следствием уравнений f (х) = g (х) и f (х) = -g (х). Последнее означает, что среди корней уравнения f2 (х) = g2 (х) содержатся все корни уравнения f (х) = g (х), но могут оказаться корни , посторонние для этого уравнения.
То есть если при решении уравнения используется возведение в квадрат, то необходимо делать проверку или рассматривать дополнительные условия, при которых уравнения f (х) = g (х) и f2 (х) = g2 (х) равносильны.
Уравнение f (х) = g (х) равносильно f2 (х) = g2 (х), в следующих случаях
В первом и втором случаях уравнение f (х) = -g (х) не имеет корней, а в третьем – корни уравнений f (х) = g (х) и f (х) = -g (х) совпадают.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Возведем исходное уравнение в квадрат.
Получим:
х2
+ 5х + 1 = (2х – 1)2
3х2
– 9х = 0 х1
= 0, х2 = 3
Выполним проверку:
Ответ: 3.
Решение примера 1 можно оформить иначе.
Корень уравнения х = 0 не удовлетворяет условию х ≥ ½
Замена переменных
Решение 1. Возведем обе части уравнения в квадрат и преобразуем полученное уравнение:
Вновь возведем обе части уравнения в квадрат:
Заметим, что f(х) – возрастающая функция на своей области определения.
Из курса алгебры и начал анализа известно, что возрастающая функция принимает каждое из своих значений только при одном значении аргумента, а следовательно, имеет не более одного корня:
Некоторые иррациональные уравнения можно решить, сводя их с помощью той или иной замены к однородным уравнениям, относительно двух переменных.
Закрепление.
Работа у доски (учащиеся выполняют решение у доски).
Самостоятельная работа.
