Показательная, логарифмическая, степенная функции

Цель:

1. Показать взаимосвязь функций, их характерные особенности;
2. Расширить знания учащихся по теме;
3. Применение свойств функций в комплексе при решении упражнений.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

Актуализация знаний учащихся.

Проверка домашнего задания: разобрать задания, которые вызвали затруднения у учащихся.

2. Лекция.

1) Вступление:

Сегодня на обобщающем уроке мы установим взаимосвязь между тремя изучаемыми функциями, их общие свойства, характерные особенности.

2) Общие свойства:

а) Область определения и область значений функций.

б) Определение и свойства этих функций связано с понятием степени.

Рассмотрим степень а ^r = с, а - основание, r - показатель, с - степень. Три компонента, три величины.

в) В зависимости от того, какая из величин является постоянной, какая является аргументом и какая функцией, определяются три функции.

г) Если а - постоянная величина, r - аргумент, с - функция, то получаем формулу у = а ^х , где а>0, а=1, которая задает показательную функцию.

д) Если а - постоянная , r и с - переменные, причем с - аргумент, r - функция, то получаем логарифмическую функцию у= log _ax, где а>0, а=1

е) Если r - постоянная, с - функция, то имеем степенную функцию у = х ^r , где rЄR.

3) Все три функции монотонны, непрерывны, обратимы, дифференцированы, неограниченны, не имеют точек экстремума, не являются четными, не являются нечетными, не являются периодическими.

4) Рассмотрим несколько важных свойств: монотонность, обратимость, дифференцируемость, наличие первообразной.

А) Так как функция монотонна, то она обратима. y=(1/3) ^х , обратная ей у = log _ax. Графики этих функций симметричны относительно прямой у = х. Обратная степенной функции – степенная функция: у=х ^2/3 , обратная ей у = х ^3/2

Б)

5) Характерные свойства:

1. у = а ^х

а) Е(а ^х ) = R + График расположен выше оси ОХ и проходит через точки (0;1), (1;а), (-1;1/а). Геометрическая особенность графика: ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика.

б) у = е ^х График проходит через точку (1;0). Производная и первообразная равны самой функции. α =45º. Уравнение касательной у = х+1.

в) у=10 ^х для этой функции обратной будет функция у = lgx.

2. у=log _ax

а) D(log _ax) = R+. График проходит через точки (1;0), (а;1), (1/а;-1). Геометрическая особенность графика: ось ОУ является вертикальной асимптотой графика.

б) у = lnx. Угол между касательной к графику в точке х = 1 и осью абсцисс равен 45. Уравнение касательной к графику функции: у = х – 1.

в) у = lgx. Умение работать с десятичными логарифмами помогает решать задачи вычислительного характера.

3. у = х ^r

а) D(x ^r ) = R+ E(x ^r ) = R +

если r=m/n и m/n>1; то D(x ^r ) = [0;+∞);

если 0<m/n<1; то D(x ^r ) = [0; +∞),

если r<0; то D(x ^r ) = (0; +∞).

б) График функции проходит через точку (1;1).

в) Функции у = х; у = х ^-1 обратны сами себе;

г) у = х ^2k ; где к - целое число, то функция четная: например у = х ⁴ ; у = х ^{–8 , их графики симметричны относительно оси ОУ.}

д) у = х ^2k+1 , где к - целое число; то функция нечетная, графики симметричны относительно точки О(0;0); например: у = х ⁵ ; у = х ^–7

е) Производная и первообразная степенной функции - степенная функция

4. Решение упражнений

1) Устно:

а) Решить неравенства:

4,5^x> 3^x ; 1,3^x > 3^x; 0,8^x > 0,25^x; 0,8^x <0,25^x

б) Определить знак числа: log_1/210; log₅3; log_1/20,7

в) Решить неравенства и уравнения:

log _x10>log _x13; log _x10< log _x 13; (1/7) ^x =0; (1/7) ^x<0; 2^x>1; 0<2^x<1

г) Указать область определения выражений

х¹⁰ ; ;

д) Подписать графики (графики изображены на доске)

у = 3^x; у = (1/2) ^x; у = log_1/2x; y = log₂x.

2) Решить неравенство. (В неравенстве есть логарифмическая, показательная и степенная функции, т.е. свойства этих функций в комплексе)

3) Найти производную функции у = ln5x

4) Построить графики функций

а) у = (х + 2)⁰

б) у = log₂|x|

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание:

а) теория;

б) решить уравнение:=5;

в) построить графики: у = |log₂x|; y=2^x ∙ 2|^x|