Конспект урока в 8-м классе "Квадратные уравнения"

Тип урока: Урок изучения нового.

Цели урока: Организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул сокращенного умножения, работу с учебником. Сформулировать определение квадратного уравнения; доказать теорему о корнях уравнения х² = d.

В результате ученик

знает

• какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы,
• определение квадратного уравнения,
• название коэффициентов квадратного уравнения:

умеет

• из предложенных уравнений выбирать квадратные,
• определение квадратного уравнения,
• составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты:

понимает

• необходимость изучения темы «Квадратные уравнения»

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочная часть:
   • актуализация знаний
   • мотивация, постановка учебной задачи.
2. Операционно-познавательная часть:
   • решение учебной задачи (цели урока).
3. Рефлексивно-оценочная часть:
   • подведение итогов урока,
   • выдача домашнего задания.

Ход урока

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

– Каков общий вид линейного уравнения? (ах + с = 0)

– Как называются числа а и с, какие значения они могут принимать? (Это коэффициенты уравнения, они могут быть любыми, кроме случая, когда

а = 0)

– Дайте определение корня уравнения. (Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство)

– А что значит решить уравнение? (Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет)

– При изучении каких предметов вам приходилось составлять и решать уравнение? (При изучении физики, химии, геометрии)

– Какую тему я просила вас повторить? (Разложение квадратного трехчлена на множители)

– Чему вы научились за время изучения этой темы, покажут задания, которые я предлагаю вам решить:

(открыть створку доски)

1) Решите уравнения (устно):

а) х²=36;
б) х²-144=0;
в) х²+25=0;
г) х² - 1= 15;
д) (х+5)²=0.

2) Разложите на множители способом группировки: х²-12х+20;

х² – 12х + 20 = х² – 10х - 2х + 20 = х (х – 10) – 2(х – 10) = (х – 10) (х – 2)

II. Операционно-познавательная часть.

1 Ребятам предлагается решить задачу №1 в учебнике. Читаем задачу. Учащимся предлагается сформулировать алгоритм решение такого типа задач. На доске ученик записывает решение.

Если х см – это высота прямоугольника, то (х + 10) см – основание
х (х + 10) см² – площадь прямоугольника, она равна 24 см². Следовательно
х (х + 10) = 24
х² + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть на множители способом группировки
х² + 10х – 24 = х² + 12х – 2х – 24 = (х² + 12х) – (2х + 24) =
х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х – 2)
(х – 2) (х + 12) = 0
х – 2 = 0 или х + 12 = 0
х₁ = 2, х₂ = -12. Так как длина отрезка не может быть отрицательным числом, то высота прямоугольника равна 2 см.

Учитель обращает внимание, что при решении этой задачи было получено уравнение х² + 10х – 24 = 0

Что мы имеем в левой части? (Квадратный трехчлен)

Как вы думаете называется уравнение х² + 10х – 24 = 0? (Квадратным уравнением)

Значит тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения».

Мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные.

Учитель дает определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, а ≠ 0.

Числа a, b, c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, а c – свободным членом.

• №401 (устно)
• №402 (устно)

2. Из истории квадратных уравнений. Презентация.

3. Решить уравнение х²= 64.

х² – 64 = 0
(х – 8) (х + 8) = 0
х1 = 8, х2 = -8

Теорема. Уравнение х² = d, где d > 0? Имеет два корня х₁ =, х₂ = -.

Доказательство:

х² = d
х² – d = 0
Т.к d > 0, то d = ()².
х² - ()² = 0
(х - ) (х +) = 0
х -  = 0 или х +  = 0
х₁ =        х₂= -

Если d = 0, то уравнение имеет один корень х = 0.

Если d < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

4. Закрепление изученного материала.

• №403 (1, 3) №407 (устно)
• №404 (1. 3) №408 (1,3,5)
• №405 (1, 3) №409 (1,3,5)

III.Рефлексивно-оценочная часть.

1. (Устно) Какие из перечисленных уравнений являются квадратными?

а) 3х² – 17х + 14 = 0;
б) х² + 14 + 0;
в) – 7х² + 14 – 5х = 0;
г) – 17х + 14 = 0;
д) – 17х +  х²= 0;
е) 3х³– 17х + 14 = 0;
ж) 5х – 8 - 3х² = 0

2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = 3, b = 7, с = 6;
б) а = 2; b = 0; с = 10;
в) а = 4; b = 1; с = 0

3. Приведите данные уравнения к виду ах² + bх + с = 0, а ≠ 0

а) х² + 2х – 3 = 2х + 6;
б) х (х + 1) – 3 = х (2х – 4) + х²;
в) х² = (3х – 2 )²

– Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятие квадратного уравнения)

– Какую цель мы поставили в начале урока?

(Дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по коэффициентам, выбирать среди уравнений квадратные)

– Решили мы ее? (Да)

– Так какое же уравнение называется квадратным? (Учащиеся отвечают)

Какую работу мы должны провести дальше с уравнениями нового класса?

(Научиться решать, исследовать вопрос о количестве корней уравнения, изучить свойства)

– Об этом мы поговорим на следующих уроках

Запишем домашнее задание.

1. Знать определение квадратного уравнения п.25
2. №403 (2; 4 ), 404 (2; 4 ), 405 (2; 4; 6 ), 408 (2; 4; 6 ), 409 (2; 4; 6 )
3. Для желающих доклады:
   а) Исследования Декарта по решению алгебраических уравнений.
   б) Диофант Александрийский.
   в) Трактат «Китаб аль – джебр валь – мукабала» аль Хорезми. Приемы решений уравнений вида ах² = bх.

Полностью текст работы приведен в Приложении.